ESTATISTICA I STA13813

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.title[
# ESTATISTICA I STA13813
]
.subtitle[
## Medidas Resumo
]
.author[
### Nátaly A. Jiménez Monroy
]
.institute[
### LECON/DEST - UFES
]

---

[//]: <> (https://pkg.garrickadenbuie.com/extra-awesome-xaringan/intro/index.html#1)
[//]: <> (https://pkg.garrickadenbuie.com/xaringanthemer/articles/xaringanthemer.html)
[//]: <> (https://www.biostatistics.dk/talks/CopenhagenRuseRs-2019/index.html#1)
[//]: <> (https://rstudio-education.github.io/sharing-short-notice/#1)
[//]: <> (https://www.kirenz.com/slides/xaringan-demo-slides.html#1)
[//]: <> (https://github.com/yihui/xaringan/issues/26)
[//]: <> (https://github.com/emitanaka/anicon)
[//]: <> (https://github.com/mitchelloharawild/icons)
[//]: <> (https://slides.yihui.org/2020-genentech-rmarkdown.html#1)
[//]: <> (https://github.com/gadenbuie/xaringanExtra)
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight)

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# Medidas-resumo - I

- **Principal objetivo**: resumir os dados através de medidas pontuais, que são alguns valores representativos da amostra.

Principais tipos de medidas-resumo:

* posição e
 * dispersão.

- **Vantagem**: há um único número para:

* resumir os dados; e

* representar características importantes.

- **Principal desvantagem**: Perda de **<span style="color:orange">informação</span>**.

---
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# Medidas-resumo - II

> **Medidas de posição**: mínimo, máximo, moda, média, mediana e os percentis.

> **Medidas de dispersão**: amplitude, intervalo-interquartil, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação.

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# Medidas de posição

- **Mínimo** (min ou `$x_{(1)}$`): o menor valor observado na amostra.

- **Máximo** (max ou `$x_{(n)}$`): o maior observado na amostra.

**Exemplo 3**:

Dados: 4, 5, 4, 6, 5, 8, 4 `$\Longrightarrow n = 7$`

`$x_1 = 4, \quad x_2 = 5, \quad x_3 = 4, \quad x_4 = 6, \quad x_5 = 5, \quad x_6 = 8, \quad x_7 = 4$`

| ✍️ Nota            |
|:-------------------|
|É interessante tomar por hábito ordenar de maneira crescente o conjunto de dados observados. `$\phantom{*********}$` |

**Dados ordenados**: 4, 4, 4, 5, 5, 6, 8.

`$x_{(1)} = 4, \quad x_{(2)} = 4, \quad x_{(3)} = 4, \quad x_{(4)} = 5, \quad x_{(5)} = 5, \quad x_{(6)} = 6, \quad x_{(7)} = 8$`.

| Max = `$x_{(7)}$` = 8 ||    Min = `$x_{(1)}$` = 4 |
|:-------------------:||:----------------------:|

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# Medidas de tendência central

- Buscam representar um valor "típico" dos dados em questão;

O que seria valor "típico"?
 
  * Principais:
  
    * ponto de equilíbrio dos dados;
    
    * ponto central dos dados;
    
    * ponto de alta frequência;

--
  
  * Diferentes medidas de tendência central:
  
    * média;
    
    * mediana;
    
    * moda.

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## Média - I

| 📝 Definição 14            |
|:---------------------------|
| Dadas as observações `$x_1,\ldots,x_n$`, a **<span style="color:orange">média</span>** é definida por `$\phantom{******************************}$` |
| `$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i=\frac{x_1+\cdots+x_n}{n}.$$`  |

---
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## Média - II

Suponha que os valores são apresentados na forma da seguinte distribuição de frequências:

|           `$X$`   |  `$x_1^*$`  |  `$x_2^*$`  |  `$\ldots$`  |  `$x_k^*$`  |       Total         |
|:---------------:|:---------:|:---------:|:----------:|:---------:|:-------------------:|
|  Freq. Absoluta |   `$n_1$`   |   `$n_2$`   |  `$\ldots$`  |    `$n_k$`  | `$\sum_{i=1}^kn_i=n$` |

A média pode ser calculada como

`$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{j=1}^kn_jx_j^*=\sum_{j=1}^k{f}_jx_j^*,$$`
onde `${f}_j=\frac{n_j}{n}$` é a frequência relativa do `$j$`-ésimo valor.

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## Média - III

#### Exemplo 4 - I

Dados: 1, 2, 3, 6, 1, 2, 2, 1, 1, 1.

`\begin{eqnarray}
\bar{x}&=&\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}x_i\nonumber\\
       &=&\frac{x_1+\cdots+x_{10}}{10}\nonumber\\
       & = &  \frac{1 + 2 + 3 + 6 + 1 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1}{10}\nonumber\\ 
       & = & \frac{20}{10}\nonumber\\
       & = & 2 \nonumber
\end{eqnarray}`

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## Média - III

#### Exemplo 4 - II

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## Média - III

#### Exemplo 4 - II

**Interpretação física**: Se cada observação da amostra fosse representada por um peso de 1Kg e colocada sob um eixo horizontal com escala definida, o único ponto em que se poderia colocar um apoio para equilibrar o sistema de pesos é correspondente ao valor de `$\bar{x}$`.

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## Média - III

#### Exemplo 4 - III

Resolvendo agora via tabela de frequências.

|       `$X$`       |   1   |    2  |   3   |   6   | Total |
|:---------------:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|:-----:|
| Freq. Absoluta  |  `$5$`  |  `$3$`  |  `$1$`  |  `$1$`  |  `$10$` |
| Freq. Relativa  | `$0.5$` | `$0.3$` | `$0.1$` | `$0.1$` |   `$1$` |

Observando os dados brutos, vemos apenas 4 diferentes tipo de resultados da variável (1, 2, 3 e 6). Dessa forma,

* k = 4 `$\quad$` e `$\quad$` `$x_1^* = 1$`, `$x_2^* = 2$`, `$x_3^* = 3$` e `$x_4^* = 6$`.

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## Média - III

#### Exemplo 4 - IV

Assim, a média pode ser calculada fazendo uso da frequência absoluta calculamos a média fazendo

`\begin{eqnarray}
\bar{x}&=&\frac{1}{n}\sum_{j=1}^kn_jx_j^*\nonumber\\
       &=&\frac{1}{10}\sum_{j=1}^4n_jx_j^*\nonumber\\
       &=& \frac{1}{10} (5 \times 1 + 3 \times 2 + 1 \times 3 + 1 \times 6) \nonumber\\ 
       &=& 2. \nonumber
\end{eqnarray}`

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## Média - III

#### Exemplo 4 - V

Ou, fazendo uso da frequência relativa, por

`\begin{eqnarray}
\bar{x}&=& \sum_{j=1}^k{f}_jx_j^*\nonumber\\
       &=& \sum_{j=1}^4{f}_jx_j^*\nonumber\\
       &=& 0.5 \times 1 + 0.3 \times 2 + 0.1 \times 3 + 0.1 \times 6 \nonumber\\
       &=& 2 \nonumber 
\end{eqnarray}`

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## Média - IV

Suponha que as observações são dadas na forma da seguinte distribuição de frequências intervalar:

|  `$X$`  | `$[a_0,a_1)$` | `$[a_1,a_2)$` | `$\ldots$` | `$[a_{k-1},a_k)$` |        Total        |
|:-----:|:-----------:|:-----------:|:--------:|:---------------:|:-------------------:|
| Freq. |     `$f_1$`   |      `$f_2$`  | `$\ldots$` |       `$f_k$`     | `$\sum_{i=1}^kf_i=n$` |

> **Problema**: desconhecemos os valores observados.

Para `$i=1,\ldots,k$`, devemos **<span style="color:orange">aproximar</span>** os valores do intervalo `$[a_{i-1},a_i)$` pelo ponto médio `$x_i^m=\frac{a_{i-i}+a_i}{2}$` desse intervalo. Agora, a média é aproximada por

`$$\bar{x}\approx\frac{1}{n}\sum_{j=1}^kn_jx_j^m=\sum_{j=1}^k{f}_jx_j^m,$$`
onde `$f_j=\frac{n_j}{n}$` é a frequência relativa do `$j$`-ésimo intervalo.

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## Média - V

#### Exemplo 5 - I

| Classes de salário | Freq. | Ponto médio do intervalo |
|:------------------:|:-----:|:------------------------:|
|      `$[4, 8)$`      |   10  |              6           |
|      `$[8, 12)$`     |   12  |             10           |
|      `$[12, 16)$`    |    8  |             14           |
|      `$[16, 20)$`    |    5  |             18           |
|      `$[20, 24)$`    |    1  |             22           |
|      Total         |   36  |             --           |

---
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## Média - V

#### Exemplo 5 - II

`\begin{eqnarray}
\bar{x}&\approx&\frac{1}{n}\sum_{j=1}^kn_jx_j^m = \frac{1}{36}\sum_{j=1}^5 n_jx_j^m \nonumber\\
       &=& \frac{1}{36}(10 \times 6 + 12 \times 10 + 8 \times 14 + 5 \times 18 + 1 \times 22) \nonumber\\
       &=& \frac{404}{36} = 11,22  \nonumber
\end{eqnarray}`

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## Média - VI

A média possui as seguintes características:

* tem propriedades "boas";
  
  * é influenciada por valores atípicos;
  
  * não recomendada em dados assimétricos;
  
  * só é calculada em variáveis quantitativas;
  
  * no caso intervalar `$\downarrow k\Rightarrow$` aproximação ruim para a média.

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## Mediana - I

| 📝 Definição 15            |
|:---------------------------|
| A **<span style="color:orange">mediana</span>** é o valor da variável que ocupa a posição central de um conjunto de `$n$` dados **ordenados** de maneira crescente. Note que `$50\%$` das observações ficam acima da mediana e `$50\%$` ficam abaixo dessa medida. |
| `$\phantom{*************************}$` Posição da mediana: `$\frac{n+1}{2}.$`  |

#### Exemplo 6

Dados: 20, 60, 30, 70, 80 `$\longrightarrow$` `$n = 5$` (ímpar)

**<span style="color:orange">Dados ordenados</span>**:  `$20 \quad 30 \quad 60 \quad 70 \quad 80$`

Posição da Mediana `$\frac{n+1}{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$`

Mediana = 60

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## Mediana - II

#### Exemplo 7 - I

Dados: 40, 80, 20, 10, 90, 60 `$\longrightarrow$` `$n = 6$` (par)

**<span style="color:orange">Dados ordenados</span>**: `$10 \quad 20 \quad 40 \quad 60 \quad 80 \quad 90$`

Posição da Mediana `$\frac{n+1}{2} = \frac{6 + 1}{2} = 3,5$`

Mediana = `$\frac{40 + 60}{2} = 50.$`

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## Mediana - III

| 📝 Definição 16            |
|:---------------------------|
| Dadas as observações `$x_1,\ldots,x_n$`, sejam `$x_{(1)},\ldots,x_{(n)}$` esses valores ordenados, isto é, `$x_{(1)}\leq\cdots\leq x_{(n)}$`. A mediana é definida por  |

**Desvantagens**

- sem interpretação física;

- depende apenas da posição e não do valor;

- menos influência de dados atípicos;

- pode ser usada em variáveis qualitatitvas ordinais.

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## Moda - I

| 📝 Definição 17            |
|:---------------------------|
| Dadas as observações `$x_1,\ldots,x_n$`, se `$x_1^*,\ldots,x_k^*$` denotarem os `$k$` valores diferentes, a moda é dada pelo valor com maior frequência.  |

> Um conjunto de dados pode ser amodal, unimodal, bimodal, `$\ldots$`.

**Problema**: em variáveis contínuas, frequentemente, observamos poucos valores repetidos. Assim, na maioria dos casos, esse tipo de dado é amodal.

**Alternativa**: utilizar a classe com maior densidade, ou **<span style="color:orange">classe modal</span>**. Assim, a moda pode ser aproximada pelo valor médio da classe modal.

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## Moda - II

#### Exemplo 5 - III

**Classe Modal**: `$[8,12)$`.

**Valor modal**: `$\frac{12+8}{2}=10$`.

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## Moda - III

A moda de um conjunto de dados:

- representa o(s) valor(es) mais provável(eis);

- é muito indicada em dados multimodais;

- não é afetada por dados atípicos;

- pode ser usada em variáveis qualitativas.

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# Medidas de dispersão - I

Suponhamos que quatro grupos de alunos submeteram-se a um teste, obtendo-se as seguintes notas:

* Grupo A: 3, 4, 5, 6, 7

* Grupo B: 1, 3, 5, 7, 9

* Grupo C: 5, 5, 5, 5, 5

* Grupo D: 3, 5, 5, 7

Observemos que

$$\bar{x}_A  = \bar{x}_B = \bar{x}_C = \bar{x}_D = 5 $$

$${m_d}_A  = {m_d}_B = {m_d}_C = {m_d}_D = 5 $$

| O que diferencia os 4 grupos de notas? |
|:--------------------------------------:|

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# Medidas de dispersão - II

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# Medidas de dispersão - III

**Finalidade**: Encontrar um valor que resuma a variabilidade de um conjunto de dados.

Quatro medidas apresentadas:

- amplitude amostral;

- variância;

- desvio-padrão;

- coeficiente de variação.

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## Amplitude

| `$$A = max-min$$` |
|:---------------:|

- Grupo A: 3, 4, 5, 6, 7 `$\longrightarrow$` A = 4

- Grupo B: 1, 3, 5, 7, 9 `$\longrightarrow$` A = 8

- Grupo C: 5, 5, 5, 5, 5 `$\longrightarrow$` A = 0

- Grupo D: 3, 5, 5, 7  `$\longrightarrow$` A = 4

> **Vantagens**:
>
> - cálculo rápido;
>
> - fácil interpretação;

> **Desvantagem**:
>
> sofre alto impacto na presença de dados atípicos.

---
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## Variância - I

**Objetivo**: Medir a  variabilidade através da dispersão de todos os dados em torno de sua média.

| 📝 Definição 18            |
|:---------------------------|
| Variância populacional: `$\phantom{**********************************************}$`
$$
\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2.
$$

| 📝 Definição 19            |
|:---------------------------|
| Variância amostral: `$\phantom{***********************************************}$`
$$
s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2.
$$

---
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## Variância - II

#### Exemplo 6 - I

Um levantamento dos preços à vista (R$) do litro de álcool em gel em alguns postos de venda de uma cidade está mostrado abaixo:

$$ 4,61 \qquad   4,64 \qquad   4,56 \qquad   4,61 \qquad    4,60 \qquad  4,58$$

Obtenha a média e variância dessa amostra de preços.

`\begin{eqnarray}
\bar{x}&=&\frac{\sum_{i=1}^{6}x_i}{6}\nonumber\\ 
       &=&\frac{x_1+\cdots+x_{6}}{6}\nonumber\\
       & = &  \frac{4,61 + ... + 4,58}{6}\nonumber\\ 
       & = & \frac{27,60}{6}\nonumber\\
       & = & 4,60 \nonumber
\end{eqnarray}`

Ou seja, o preço médio por litro de álcool em gel é de R$ 4,60.

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## Variância - II

#### Exemplo 6 - II

Para o cálculo da variância, temos que:

`\begin{eqnarray}
s^2 = Var(X)  &= & \frac{\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}{n-1} \nonumber\\
    &= & \frac{\sum_{i=1}^6(x_i-4,60)^2}{5} \nonumber\\
    &= & \frac{(x_1-4,60)^2 + (x_2-4,60)^2 + .... + (x_6-4,60)^2}{5} \nonumber\\
    &= & \frac{(4,61-4,60)^2 + (4,64-4,60)^2 + .... + (4,58-4,60)^2}{5} \nonumber\\
    &= & \frac{0,0038}{5} \nonumber\\
    &= & 0,00076. \nonumber
\end{eqnarray}`

> **Pergunta**: Qual a unidade dimensional da variância nesse exemplo?

---
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## Variância - III

**Fórmula alternativa para o cálculo da variância amostral**

`\begin{eqnarray}
s^2 = Var(X) &= & \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2 \; -\;  n \; \bar{x}^2}{n-1} \nonumber
\end{eqnarray}`

---
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## Variância - IV

#### Exemplo 6 - III

Refazendo o cálculo da variância do exemplo anterior através da fórmula alternativa:

`\begin{eqnarray}
s^2 = Var(x)  &= & \frac{\sum_{i=1}^n x_i^2 \; - \; n \; \bar{x}^2}{n-1} \nonumber\\
              &= & \frac{\sum_{i=1}^6 x_i^2 \; - \; 6 \times 4,60^2}{5} \nonumber\\
              &= & \frac{x_1^2 + \ldots + x_6^2 \; - \; 126,96}{5} \nonumber\\
              &= & \frac{4,61^2 + 4,64^2 + ... + 4,58^2 \; - \; 126,96}{5} \nonumber\\
              &= & \frac{126,9638 \; - \; 126,96}{5} = \frac{0,0038}{5} = 0,00076. \nonumber
\end{eqnarray}`

---
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## Variância - V

**Observações:**

* mais robusta a dados atípicos do que a amplitude;

* se os dados, por exemplo, são expressos em `$cm$` a variância é em `$cm^2$`;

* para dados apresentados em frequências intervalares, temos que
  $$
  s^2=\frac{\sum_{i=1}^kn_i(x_i^m)^2 \; - \; n \bar{x}^2}{n-1},
  $$
  onde `$x_i^m$` é o ponto médio do `$i$`-ésimo intervalo.

---
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## Variâcia - VI

#### Exemplo 5 - IV

| Classes de salário | `$n_i$` | `$x_i^m$` | `$(x_i^m)^2$` | `$n_i\times (x_i^m)^2$` | 
|:------------------:|:-----:|:--------|:-----------:|:---------------------:|
|      `$[4, 8)$`      |   10  |  6      |    36       |           360         |   
|      `$[8, 12)$`     |   12  | 10      |   100       |          1200         |
|      `$[12, 16)$`    |    8  | 14      |   196       |          1568         |
|      `$[16, 20)$`    |    5  | 18      |   324       |          1620         |
|      `$[20, 24)$`    |    1  | 22      |   484       |           484         |
|      Total         |   36  |  --     |   --        |          5232         |

`$k$`: o número de classes;

`$x_i^m$`: ponto médio do `$i$`-ésimo intervalo.

---
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## Variâcia - VI

#### Exemplo 5 - V

Já havíamos calculado que `$\bar{x} = 11,22$`. Assim,

`\begin{eqnarray}
  s^2 &=& \frac{\sum_{i=1}^kn_i \; (x_i^m)^2 \; - \; n \; \bar{x}^2}{n-1} \nonumber\\
     %&=&  \frac{5232 \; - \; 36 \times 11,22}{35} \nonumber\\
     &=&  \frac{5232 \; - \; 36 \times 11,22^2}{35} = \frac{700,02}{35} = 20 \nonumber
\end{eqnarray}`

---
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## Desvio Padrão - I

Para remediar o fato de a variância ser expressa na unidade de medida da variável ao quadrado, podemos calcular o **<span style="color:orange">desvio padrão</span>**.

| 📝 Definição 20            |
|:---------------------------|
| O desvio-padrão populacional é dado por `$\phantom{*************************************}$`
$$
\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^2}.
$$

| 📝 Definição 21            |
|:---------------------------|
| O desvio-padrão amostral é dado por `$\phantom{*************************************}$`
$$
s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}.
$$
|

> A grande vantagem do desvio-padrão é que ele é expresso na mesma unidade de medida dos dados.

---
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## Desvio Padrão - II

#### Exemplo 5 - VI

Desvio-padrão dos salários de 36 empregados organizados via tabela de frequências.

$$ s=\sqrt{s^2} = \sqrt{20} = 4,47$$ salários mínimos

#### Exemplo 6 - IV

Desvio-padrão dos preços do litro de álcool em gel.

$$ s=\sqrt{s^2} = \sqrt{0,00076} = 0,02767$$ reais.

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## Coeficiente de variação - I

> **Observação**: As medidas de dispersão apresentadas são influenciadas pela "grandeza" da variável estudada.

É comum então representar o desvio-padrão como percentual da média. Denomina-se essa medida de coeficiente de variação.

| 📝 Definição 22           |
|:---------------------------|
| O coeficiente de variação populacional é dado por `$\phantom{********************************}$`
$$
CV(\%) =\frac{\sigma}{\mu} \times 100,
$$
onde `$\mu$` é a média populacional. O coeficiente de variação amostral é dado por
$$
CV(\%) =\frac{s}{\bar{x}} \times 100,
$$
onde `$\bar{x}$` é a média amostral.

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## Coeficiente de variação - II

>**Vantagens**:
>
> - Duas populações com médias muito diferentes podem ter suas dispersões comparadas através do coeficiente de variação.
>
> - É adimensional

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## Coeficiente de variação - III

#### Exemplo 7 - II

Altura e peso dos alunos

|        | Média | Desvio-padrão |
|:------:|:-----:|:-------------:|
| Altura | 1,50 m | 0,0825 m     |
|  Peso  |  50 Kg |  6 Kg        |

> Os alunos são mais dispersos com respeito a altura ou o peso?

|        | Média | Desvio-padrão | Coeficiente de variação |
|:------:|:-----:|:-------------:|:-----------------------:|
| Altura | 1,50 m | 0,0825 m     |         5,5%            |
|  Peso  |  50 Kg |  6 Kg        |          12%            |

Os alunos são, aproximadamente, duas vezes mais dispersos quanto ao peso do que quanto à altura.

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## Percentil - I

O percentil de ordem `$p \times 100$` `$(0 < p < 1)$` em um conjunto de dados de tamanho `$n$`, é o valor da variável que ocupa a posição `$p \times (n+1)$` do conjunto de  **<span style="color:orange">dados ordenados</span>**.

**Casos particulares**:

* Percentil 50 = mediana ou segundo quartil `$(Q_2)$`

* Percentil 25 = primeiro quartil `$(Q_1)$`

* Percentil 75 = terceiro quartil `$(Q_3)$`

* Percentil 10 = primeiro decil

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## Percentil - II

#### Exemplo 8 - I

Dados ordenados:

`$$19 \quad 20 \quad 21 \quad 25 \quad 30 \quad 31 \quad 33 \quad 37 \quad 61 \quad 77$$`
--

* **Posição da Md (ou `$Q_2$`)**: `$0,5 \times (n +1) = 0,5 \times 11 = 5,5$`
 
 `$$\color{red}{\text{Mediana}} = \frac{30 + 31}{2} = 30,5$$`

* **Posição de `$Q_1$`**: `$0,25 \times (n +1) = 0,25 \times 11  = 2,75$`

`$\phantom{****}$`

|Como obter `$Q_1$`?|
|:---------------:|

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## Percentil - II

#### Exemplo 8 - II

Na literatura há diversas estratégias, aqui apresentaremos duas:

**Tipo I**: Calcula-se a média dos valores que ocupam as posições adjacentes à posição do quantil. 
 
`$$\color{red}{Q_1} = \frac{20 + 21}{2} = 20,5$$`

**Tipo II**: Interpolação.

Note que a Posição de `$Q_1$` = `$2\color{blue}{,75}$`

`$$\color{red}{Q_1} = 20 + \color{blue}{0,75} (21-20) = 20,75$$`

`$\phantom{***}$`

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## Percentil - II

#### Exemplo 8 - III

* **Posição de `$Q_3$`**: `$0,75 \times (n +1) = 0,75 \times 11  = 8\color{blue}{,25}$`

**Tipo I**:

`$$\color{red}{Q_3} = \frac{37 + 61}{2} = 49$$`

**Tipo II**:

`$$\color{red}{Q_3} = 37 + \color{blue}{0,25} (61-37) = 43$$`

Interpretações:

* `$25\%$` das observações da amostra estão abaixo de `$Q_1$`, `$75\%$` estão acima desse valor.

* `$75\%$` das observações da amostra estão abaixo de `$Q_3$`, `$25\%$` estão acima desse valor.

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### Intervalo (ou Amplitude) Interquartil

Medida de dispersão alternativa ao desvio-padrão, sendo definido como a diferença entre o terceiro quartil `$(Q_3)$` e o primeiro quartil `$(Q_1)$`, ou seja,

`$$d_q = Q_3 - Q_1.$$`

#### Exemplo 8 - IV

* **Tipo I**:

`$Q_1$` = 20,5 e `$Q_3$` = 49  
 
`$$d_q = Q_3 - Q_1 = 49 - 20,5 = 28,5$$`

* **Tipo II**:

`$Q_1$` = 20,75 e `$Q_3$` = 43

`$$d_q = Q_3 - Q_1 = 43 - 20,75 = 22,25$$`

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### Boxplot - I

O boxplot, ou diagrama de caixa, é um gráfico que capta importantes aspectos de um conjunto de dados através do seu **<span style="color:orange">resumo em cinco números</span>**, formado pelos seguintes valores:

- valor mínimo*,

- primeiro quartil,

- segundo quartil,

- terceiro quartil e

- valor máximo*.

O boxplot nos dá uma ideia de posição, dispersão, assimetria e dados discrepantes. A posição central é dada pela mediana e a dispersão pelo intervalo interquartil. As posições relativas entre `$Q_1$`, `$Q_2$` e `$Q_3$` nos dão uma ideia da simetria ou assimetria da distribuição.

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### Boxplot - II

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### Boxplot - III

* **Máximo* **: é o maior valor menor que o Limite Superior (LS).

* **Mínimo* **: é o menor valor maior que o Limite Inferior (LI).

* **Outlier**: valores discrepantes. Para a representação no Boxplot, as observações com valores maiores que o Limite Superior (LS) ou com valores menores que o Limite Inferior (LI) são considerados outliers.

* **Limite Inferior**:

$$ LI = Q_1 - 1.5 (Q_3 - Q_1)$$

* **Limite Superior**:

$$ LS = Q_3 + 1.5 (Q_3 - Q_1)$$

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### Boxplot - III

#### Exemplo 9 - I

Obter o boxplot do seguinte conjunto de dados brutos:

`$$29 \quad 33 \quad 35 \quad 37 \quad 43 \quad 44 \quad 50 \quad 61 \quad 90$$`

* **Posição de `$Q_1$`**:

`$$0,25 \times (n+1) = 0,25 \times 10  = 2,5 \longrightarrow Q_1 = \frac{33 + 35}{2} = 34$$`

* **Posição de `$Q_2$`**:

`$$0,5 \times (n+1) = 0,5 \times 10  = 5 \longrightarrow Q_2 = \frac{33 + 35}{2} = 43$$`

* **Posição de `$Q_3$`**:

`$$0,75 \times (n+1) = 0,75 \times 10  = 7,5 \longrightarrow Q_3 = \frac{50 + 61}{2} = 55,5$$`

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### Boxplot - III

#### Exemplo 9 - II

* **Limite inferior**:

`$$LI = Q_1 - 1,5 (Q_3 - Q_1) = 34 - 1,5 (55,5 - 34) = 1,75$$`

* **Limite superior**:

`$$LS = Q_3 + 1,5 (Q_3 - Q_1) = 55,5 + 1,5 (55,5 - 34) = 87,75$$`

* **Máx* **: = 61

* **Min* **: = 29

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### Boxplot - III

#### Exemplo 9 - III

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]

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### Boxplot - IV

#### Comparando diferentes grupos via boxplot

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### Boxplot - V

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