ESTATISTICA I STA13813

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.title[
# ESTATISTICA I STA13813
]
.subtitle[
## Probabilidade
]
.author[
### Nátaly A. Jiménez Monroy
]
.institute[
### LECON/DEST - UFES
]

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[//]: <> (https://pkg.garrickadenbuie.com/extra-awesome-xaringan/intro/index.html#1)
[//]: <> (https://pkg.garrickadenbuie.com/xaringanthemer/articles/xaringanthemer.html)
[//]: <> (https://www.biostatistics.dk/talks/CopenhagenRuseRs-2019/index.html#1)
[//]: <> (https://rstudio-education.github.io/sharing-short-notice/#1)
[//]: <> (https://www.kirenz.com/slides/xaringan-demo-slides.html#1)
[//]: <> (https://github.com/yihui/xaringan/issues/26)
[//]: <> (https://github.com/emitanaka/anicon)
[//]: <> (https://github.com/mitchelloharawild/icons)
[//]: <> (https://slides.yihui.org/2020-genentech-rmarkdown.html#1)
[//]: <> (https://github.com/gadenbuie/xaringanExtra)
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# Experimentos Aleatórios e Eventos - I

**<span style="color:orange">Experimento aleatório</span>**: fenômeno cujo resultado não pode ser antecipado com absoluta certeza, mesmo que sob o máximo controle possível.

**Exemplos**:

* choverá até o fim do dia,

* a ação de uma empresa fechará em alta,

* temperatura média do mês,

* precipitação total de um mês

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# Experimentos Aleatórios e Eventos - II

| 📝 Definição 30            |
|:---------------------------|
| Dizemos que um experimento é **<span style="color:orange">aleatório</span>** se, mesmo quando repetido sob condições idênticas, não é possível predizer com absoluta certeza o seu resultado. Frequentemente, experimentos aleatórios são denotados pela letra `$E$`. |

`$\phantom{**********}$`

| 📝 Definição 31            |
|:---------------------------|
| Um experimento é denominado **<span style="color:orange">determinístico</span>** se, quando repetido sob as mesmas condições, conduz a resultados idênticos, sempre. |

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## Espaço Amostral - I

Uma vez identificado que um experimento realizado é aleatório, voltamos a nossa atenção aos possíveis resultados que esse experimento pode fornecer. Note que, embora não saibamos o resultado que um experimento fornecerá, devemos poder listar todos os seus possíveis resultados.

`$\phantom{*****}$`

| 📝 Definição 32            |
|:---------------------------|
| O CONJUNTO de TODOS os possíveis resultados de um experimento aleatório é denominado **<span style="color:orange">espaço amostral</span>** do experimento. Frequentemente, o espaço amostral é denotado pela letra `$\Omega$`. |

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## Espaço Amostral - II

#### Exemplo 25

Arremessamos um dado e observamos a face voltada para cima. Nesse caso, temos que `$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$`.

#### Exemplo 26

Verificar se um morador de um bairro sorteado ao acaso é favorável a determinado projeto de lei. Dependendo do problema, podemos atribuir `$\Omega$` = \{sim, não\} ou `$\Omega^*$` = \{sim, não, não conhece o projeto\}.

#### Exemplo 27

Avaliar a renda de uma família de determinado bairro sorteada ao acaso. Podemos atribuir `$\Omega = \{r, \; \mbox{tal que} \; r \geq 0 \} = [0, \infty)$`, onde os valores `$r$` são em reais.

#### Exemplo 28

Nota de um aluno numa prova,  `$\Omega = \{x, \; \mbox{tal que} \; 0 \leq x \leq 10 \} = [0, 10]$`.

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## Espaço Amostral - III

Podemos classificar o espaço amostral de um experimento aleatório em:

* **Discreto**: quando podemos listar ou enumerar os seus possíveis resultados. Se o espaço amostral for numérico, há ideia de elemento sucessor, isto é, dado um elemento, sabemos dizer o elemento do conjunto que o sucede;

*  **Contínuo**: não há a ideia de sucessor, isto é, quando os possíveis resultados não podem ser enumerados, como por exemplo em um intervalo dos números reais.

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## Espaço Amostral - IV

#### Exemplo 25

Arremessamos um dado e observamos a face voltada para cima. Nesse caso, temos que `$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$`. **<span style="color:orange">Discreto!</span>**

#### Exemplo 26

#### Exemplo 27

Avaliar a renda de uma família de determinado bairro sorteada ao acaso. Podemos atribuir `$\Omega = \{r, \; \mbox{tal que} \; r \geq 0 \} = [0, \infty)$`, onde os valores `$r$` são em reais. **<span style="color:orange">Contínuo!</span>**

#### Exemplo 28

Nota de um aluno numa prova,  `$\Omega = \{x, \; \mbox{tal que} \; 0 \leq x \leq 10 \} = [0, 10]$`. **<span style="color:orange">Contínuo!</span>**

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## Eventos - I

Em geral, quando conduzimos um experimento, não estamos interessados apenas em um resultado em particular, mas sim em uma coleção destes. Isto é, em um **<span style="color:orange">subconjunto</span>** do espaço amostral.

`$\phantom{*****}$`

| 📝 Definição 33            |
|:---------------------------|
| Um **<span style="color:orange">evento</span>** é qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento aleatório. `$\phantom{************}$`|
|  |
| - Frequentemente, eventos são denotados por letras iniciais do alfabeto maiúsculas: `$A,B,C,\ldots$`
|  |
| - Um evento `$A$` é um subconjunto do espaço amostral `$\Omega$`, isto é, `$A$` está contido em `$\Omega$`: `$A\subset \Omega$`.  |

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## Eventos - II

#### Exemplo 25

* Vimos que `$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$`.
 
 * Sejam os eventos `$A$` = "ocorrer uma face par" e `$B$` = "ocorrer face > 6". `$$A = \{2, 4, 6\} \;\; \mbox{e} \;\; B = \{ \; \} = \emptyset \; \mbox{(conjunto vazio)}.$$`    
 
 * Note que `$A\subset \Omega$` e `$B\subset \Omega$`.

#### Exemplo 26

* Vimos que  `$\Omega^*$` = \{sim, não, não conhece o projeto\}. 
 
 * Sejam o evento C = “a pessoa sorteada ter opinião formada sobre a lei”.  `$$C = \{\mbox{sim, não}\}\subset \Omega^*$$`

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## Eventos - III

#### Exemplo 27

* Vimos que `$\Omega = \{x, \; \mbox{tal que} \; 0 \leq x \leq 10 \} = [0, 10]$`. 
 
 * Sejam o evento D = “aluno é aprovado com nota maior ou igual a 7". `$$D  = [7, 10] \subset \Omega$$`

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## Operações com Eventos - I

Um evento é essencialmente um conjunto, de forma que as relações e resultados da teoria elementar dos conjuntos podem ser usados para o estudo dos eventos.

| 📝 Definição 34            |
|:---------------------------|
| Sejam `$A,B$` eventos de `$\Omega$`, dizemos que `$A$` está contido em `$B$` se todos elementos de `$A$` pertencem a `$B$`, ou seja, `$$\omega\in A\Rightarrow\omega\in B.$$` Neste caso, escrevemos `$A\subset B$`. Alternativamente, podemos dizer que o evento `$B$` contém `$A$` `$(B\supset A)$`.|

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## Operações com Eventos - II

Sejam `$A,B\subset\Omega$` dois eventos. Podemos criar novos eventos a partir de `$A$` e `$B$` através de operações de conjuntos. Operações básicas:

- A **<span style="color:orange">intersecção</span>** de `$A$` e `$B$` é denotada por `$A\cap B$` e representa a ocorrência **<span style="color:orange">simultânea</span>** dos eventos `$A$` **<span style="color:red">e</span>** `$B$`;

- A **<span style="color:orange">união</span>** de `$A$` e `$B$` é denotada por `$A\cup B$` e representa a ocorrência dos eventos `$A$` **<span style="color:red">ou</span>** `$B$`, **<span style="color:red">ou</span>** de ambos;

- O **<span style="color:orange">complementar</span>** de `$A$` é denotado por `$A^c$` e representa a **<span style="color:red">não</span>** ocorrência do evento `$A$`.

Formalmente, temos que:

* `$A\cap B=\{\omega\in\Omega:\omega\in A \hbox{ e } \omega\in B, \hbox{simultaneamente}\}$`;

* `$A\cup B=\{\omega\in\Omega:\omega\in A, \hbox{ ou } \omega\in B, \hbox{ ou } \omega\in A\cap B\}$`;

* `$A^c=\{\omega\in\Omega:\omega\not\in A\}$`.

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## Operações com Eventos - III

| 📝 Definição 35            |
|:---------------------------|
| Dois eventos `$A,B\subset\Omega$` são **<span style="color:orange">disjuntos</span>** ou **<span style="color:orange">mutuamente exclusivos</span>** se, e somente se, eles não puderem ocorrer simultaneamente, ou seja, `$A\cap B=\emptyset$`. |

Na figura a seguir, a área sombreada no Diagrama de Venn representa o evento resultante da operação entre dois eventos `$A$` e `$B$`, ambos contidos em `$\Omega$`.

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## Operações com Eventos - IV

#### Exemplo 29

Arremessamos um dado e observamos a face voltada para cima. Vimos que `$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$`. Sejam os eventos `$A$` = "ocorrer uma face par", `$B$` = "ocorrer face > 4" e `$C$` = "ocorrer uma face ímpar". Obtenha:

- `$A\cap B$`, `$A\cup B$`. 
- `$A^C$`, `$A\cap C$`.

**Solução**:
$$ A = \{2, 4, 6\}, \;\;\ B = \{5, 6\} \;\; \mbox{e} \;\; C = \{1, 3, 5\}$$
- `$A\cap B  = \{2, 4, 6\} \cap \{5, 6\} = \{ 6 \}$`.

- `$A\cup B  = \{2, 4, 6\} \cup \{5, 6\} = \{2, 4, 5, 6 \}$`.

- `$A^C =  \{2, 4, 6\}^C =  \{1, 3, 5\}$`.]

- `$A\cap C = \{2, 4, 6\} \cap  \{1, 3, 5\} = \emptyset$`.

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## Interpretação de probabilidade - I

A princípio, considere um espaço amostral finito `$\Omega=\{\omega_1,\ldots,\omega_n\}$` (ou infinito contável `$\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots\}$`).

Existem duas interpretações básicas de probabilidade:

- **<span style="color:orange">Subjetivista</span>**: quando a probabilidade de um evento `$A$`, `$P(A)$`, representa   o "grau de crença" que se tem com respeito a ocorrência de `$A$`. Nesse ponto de vista, indivíduos diferentes podem atribuir probabilidades diferentes para o mesmo evento `$A$`;

- **<span style="color:orange">Frequentista</span>**: quando a probabilidade atribuída a um evento `$A$`, `$P(A)$`, é interpretada como o limite da frequência relativa desse evento em `$n$` repetições   idênticas do experimento. Neste caso, o limite é avaliado quando `$n\rightarrow\infty$`.

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## Interpretação de probabilidade - II

**Exemplo de interpretação de probabilidade**

Seja `$A=$` "chover no dia de finados". Se atribuirmos ao evento `$A$` a probabilidade `$P(A)=0.8$`. Temos as seguintes interpretações:

- **<span style="color:orange">Subjetivista</span>**: segundo a minha experiência, o grau de crença que eu tenho de que choverá no dia de finados é de `$0.8$` (ou `$80\%$`);

- **<span style="color:orange">Frequentista</span>**: se fosse possível observar indefinidamente o dia de finados   ano a ano, a proporção de anos em que o dia de finados é chuvoso seria próxima de `$0.8$` e ficaria mais próxima conforme aumentássemos o período de observação.

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## Axiomas de probabilidade

| 📝 Definição 36            |
|:---------------------------|
| Uma medida de probabilidade é qualquer função de eventos `$P(\cdot)$` que satisfaça as seguintes propriedades:                |
|                            |
| * `$P(\Omega)=1$`;           |
|                            |
| * `$P(A)\geq 0$`, se `$A\subset\Omega$` é evento;|
|                            |
| * Se `$A,B\subset\Omega$` são eventos mutuamente excludentes, isto é, se `$A\cap B=\emptyset$`, então `$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$`. |

`$\phantom{****}$`

|❗  Importante   |
|:--------------------------|
| Os axiomas de probabilidade não determinam probabilidades. As probabilidades devem ser atribuídas com base no nosso conhecimento do fenômeno em estudo e devem sempre ser estabelecidas de forma que obedeçam os axiomas acima. |

---
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## Algumas propriedades de probabilidade - I

Sejam `$\Omega$` espaço amostral e `$A,B\subset\Omega$` eventos. Uma função de probabilidade definida de acordo com os axiomas de probabilidade satisfaz as seguintes propriedades:

- `$P(A^c)=1-P(A)$`;

- `$P(\emptyset)=0$`;

- `$P(A)\leq P(B)$`, se `$A\subset B$`;

- `$P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)$`, onde `$B-A=B\cap A^c$`;

- `$P(B-A)=P(B)-P(A)$`, se `$A\subset B$`;

- `$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$`.

|❗  Importante   |
|:--------------------------|
| Todas as propriedades acima podem ser demonstradas a partir do conhecimento da operação entre eventos e da definição axiomática de probabilidade. |

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## Algumas propriedades de probabilidade - II

#### Exemplo 30 - I

Em um bairro, as pessoas que utilizam transporte público (evento A) e as pessoas que utilizam transporte particular (evento B) correspondem a `$75\%$` e `$35\%$` da população, respectivamente. Pergunta-se:

* Qual a proporção de pessoas que não utilizam transporte público?

* Se a proporção de pessoas que utilizam transportes público e particular é de 0,2, qual a probabilidade de uma pessoa utilizar transporte público ou particular?

**Solução**:

* Representando a proporção de pessoas que não utilizam transporte público por `$P(A^c)$`, temos que:

`$$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0,75 = 0,25 \; (25\%).$$`

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## Algumas propriedades de probabilidade - III

#### Exemplo 30 - II

* A proporção de pessoas que utilizam transportes público **<span style="color:orange">e</span>** particular: `$P(A \cap B) = 0.2$`.

Queremos obter a probabilidade de uma pessoa utilizar transporte público **<span style="color:orange">ou</span>** particular, isto é, `$P(A \cup B)$`.

Assim

`$$P(A \cup  B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0,75 + 0,35 - 0,2 = 0,9 \; (90\%).$$`

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## Probabilidade Condicional - I

| 📝 Definição 37            |
|:---------------------------|
| Sejam `$A,B\subset\Omega$` eventos. A probabilidade do evento `$A$` ocorrer, dada a ocorrência do evento `$B$`, é dada por |

`$$\begin{equation*}
P(A|B)=\left\{
\begin{array}{lll}
\frac{P(A\cap B)}{P(B)},& \hbox{ se } P(B)>0, & \\
         P(A),& \hbox{ se } P(B)=0 & 
\end{array}
\right.
\end{equation*}$$`

Representação no diagrama de Venn quando  `$P(B)>0$`:

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## Probabilidade Condicional - II

#### Exemplo 31 - I

Suponha que um escritório possui 100 máquinas de calcular. Algumas dessas máquinas são elétricas (E), manuais (M), novas (N) e usadas (U). Um funcionário pega uma máquina e vê que é nova. Qual a probabilidade de que ela seja elétrica?

| Tipo  | Elétrica | Manual | Total |
|:-----:|:--------:|:------:|:-----:|
| Nova  |    40    |   30   |   70  |
| Usada |    20    |   10   |   30  |
| Total |    60    |   40   |  100  |

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## Probabilidade Condicional - II

#### Exemplo 31 - II

**Solução**:

Notação: `$P(E \mid N)$`

$$
P(E|N)=\frac{P(E\cap N)}{P(N)}=\frac{40/100}{70/100}\approx0.57.
$$

Assim, concluímos que, ao saber que a máquina é nova, a probabilidade dela ser elétrica é `$0.57$`. Note que se não soubéssemos que a máquina é nova, teríamos como probabilidade da máquina ser apenas elétrica dada por 0.6.

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## Probabilidade Condicional - III

#### Exemplo 32 - I

Discos de policarbonato plástico são analisados com relação a resistência a arranhões e choque. Os resultados de `$100$` discos são resumidos a seguir:

| Res. a  arranhão | Res. alta a choque | Res. baixa a choque | Total |
|:----------------:|:------------------:|:-------------------:|:-----:|
|      Alta        |           80       |            9        |  89   |
|      Baixa       |            6       |            5        |  11   |
|      Total       |           86       |           14        | 100   |

Sejam os eventos `$A=$` "alta resistência a arranhões" e `$B=$` "alta resistência a choques". Qual a probabilidade de que um disco selecionado ao acaso tenha:

* alta resistência para choques e arranhões?
 
 * alta resistência para choques ou arranhões?

Calcule também a `$P(B-A)$` e `$P(A|B^c)$`. Interprete.

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## Probabilidade Condicional - IV

#### Exemplo 32 - II

**Solução**:

* `$P(A\cap B)=0.8$`;
  
  * `$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.89+0.86-0.80=0.95$`.

O evento B-A está representado na área sombreada do diagrama abaixo:

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## Probabilidade Condicional - V

#### Exemplo 32 - III

**Solução**:

Logo, `$P(B-A)=P(B)-P(A\cap B)=0.86-0.8=0.06$`. Note que 0.06 corresponde a probabilidade de um disco selecionado ter alta resistência a choques e baixa resistência a arranhões.

Por outro lado, 
$$
P(A|B^c)=\frac{P(A\cap B^c)}{P(B^c)}=\frac{0.09}{0.14}\approx0.64.
$$

Assim, concluímos que, saber que o disco tem baixa resistência a choque diminui a probabilidade dele ter alta resistência a arranhão de `$0.89$` para `$0.64$`.

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## Regra do produto de probabilidades - I

Uma das consequências da probabilidade condicional é a regra do produto de probabilidades que corresponde ao cálculo da probabilidade de intersecção de dois eventos `$A$` e `$B$` em `$\Omega$`, a partir da probabilidade condicional entre esses dois eventos. Ou seja,

$$ P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}  \Longrightarrow  P(A \cap B) = P(A \mid B) P(B)$$

$$ P(B \mid A) = \frac{P(B \cap A)}{P(A)}  \Longrightarrow  P(A \cap B) = P(B \mid A) P(A).$$

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## Regra do produto de probabilidades - II

#### Exemplo 33 - I

Duas lâmpadas queimadas (Q) foram acidentalmente misturadas em uma gaveta com 4 lâmpadas boas (B). Suponha que duas lâmpadas são retiradas ao acaso dessa gaveta, sem reposição.

* Determine o espaço amostral associado a esse experimento. 
 
 * Qual a probabilidade de que ambas as lâmpadas sorteadas estejam queimadas?
 
 * Qual a probabilidade de aparecer exatamente uma lâmpada queimada?

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## Regra do produto de probabilidades - III

#### Exemplo 33 - II

**Solução**:

Antes de responder aos itens, vamos apresentar o diagrama de árvores que ilustra as possibilidades de retirada. Sejam `$Q_i$` e `$B_i$`, respectivamente, a obtenção de lâmpada queimada ou boa na i-ésima retirada, com `$i = 1, 2$`.

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## Regra do produto de probabilidades - IV

#### Exemplo 33 - III

**Solução**:

* `$\Omega = \{(Q_1, Q_2), (Q_1, B_2), (B_1, Q_2), (B_1, B_2) \}$`.

* `$P(Q_1, Q_2) = P(Q_1 \cap Q_2) = P(Q_2 \mid Q_1) P(Q_1) = \frac{1}{5} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{15}$`.

* Seja C o evento "aparecer exatamente uma lâmpada queimada na retirada de duas lâmpadas da gaveta, sem reposição", então

`$$\begin{align*}	
P(C) &= P((Q_1, B_2) \cup (B_1, Q_2)) \\ 
     &= P((Q_1 \cap B_2) \cup (B_1 \cap Q_2))  \\
		 &= P( Q_1 \cap B_2) + P(B_1 \cap Q_2)  \\
		 &= P(B_2 \mid Q_1) P(Q_1) + P(Q_2 \mid B_1) P(B_1)  \\
		 &= \frac{4}{5} \times \frac{2}{6} + \frac{2}{5} \times \frac{4}{6}  \\
		 &= \frac{8}{15}.
\end{align*}$$`

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## Independência - I

#### Exemplo 34 - I

Considere a mesma gaveta do Exercício 33, com 2 lâmpadas queimadas (Q) e 4 boas (B). Novamente retiraremos duas lâmpadas dessa gaveta, mas agora **<span style="color:orange">com</span>** reposição. O novo diagrama de árvores fica dado por:

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## Independência - II

#### Exemplo 34 - II

Note que

* `$P(Q_2 \mid Q_1) = 2/6$`,

* `$P(Q_2 \mid B_1) = 2/6$`,

`$$\begin{align*}
P(Q_2) &= P(Q_1 \cap Q_2) + P(B_1 \cap Q_2)\\
&=  P(Q_2 \mid Q_1) P(Q_1) + P(Q_2 \mid B_1) P(B_1)\\
&= \frac{4}{6} \times \frac{2}{6} + \frac{2}{6} \times \frac{4}{6}\\
&= \frac{2}{6}.
\end{align*}$$`

Então `$P(Q_2 \mid Q_1) = P(Q_2 \mid B_1) = 2/6 = P(Q_2)$`.

Portanto, não importa se saiu uma lâmpada boa ou queimada na primeira retirada da gaveta, a probabilidade de sair uma lâmpada queimada na segunda retirada é 2/6, indicando independência entre os eventos.

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## Independência - III

Nos casos em que a probabilidade condicional de um evento `$A$` dado ocorrência de `$B$` é idêntica a probabilidade incondicional de `$A$`, dizemos que os eventos `$A$` e `$B$` são independentes.

| 📝 Definição 38            |
|:---------------------------|
| Sejam `$A,B\subset\Omega$` eventos. Dizemos que `$A$` e `$B$` são independentes se qualquer uma das seguintes afirmações for verdadeira:  |

* `$P(A|B)=P(A)$`; 
 * `$P(B|A)=P(B)$`. 
 
--

Como consequência, a regra do produto para eventos independentes pode ser simplificada da seguinte forma:

| 📝 Definição 39            |
|:---------------------------|
| Sejam `$A,B\subset\Omega$` eventos. Dizemos que `$A$` e `$B$` são independentes se, e somente se, `$\phantom{****************}$` `$$P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B).$$`   |

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## Independência - IV

#### Exemplo 35

Em uma empresa de informática, `$2\%$` dos equipamentos produzidos têm problemas elétricos, `$0.8\%$` têm defeitos na carcaça e `$0.4\%$` têm defeitos na carcaça e elétricos, simultaneamente. Os eventos problemas elétricos e defeitos na carcaça são independentes?

**Solução**:

Sejam os eventos E = "equipamento com problemas elétricos" e C = "equipamento com defeitos na carcaça". Do enunciado temos: `$P(E)=0.02$`, `$P(C)=0,008$` e `$P(E \cap C)=0.004$`. Note que

$$ P(E) P(C) = 0.02 \times 0.008 = 0.0016 \neq P(E \cap C)=0.004.$$

Portanto, os eventos `$E$` e `$C$` não são independentes.

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## Teorema da Probabilidade Total - I

Antes de apresentarmos formalmente o teorema da probabilidades total, vejamos um problema cuja a solução nos ajudará a entender intuitivamente o teorema.

#### Exemplo 36 - I

Um hospital recebe `$20\%$` de todo o insumo que utiliza da distribuidora `$D_1$`, `$30\%$` da distribuidora `$D_2$` e `$50\%$` da distribuidora `$D_3$`. Admita que as 3 distribuidoras são distintas e não têm relação umas com as outras. Em um fiscalização da prefeitura, observou-se que `$20\%$` dos insumos da distribuidora `$D_1$` estavam adulterados, enquanto que para `$D_2$` e `$D_3$` essa proporção era de `$5\%$` e `$2\%$`, respectivamente. Se selecionar ao acaso um insumo, qual a probabilidade de ele estar adulterado?

Seja A o evento "o insumo está adulterado". Sabemos que

$$P(A \mid D_1) = 0.2 \quad P(A \mid D_2) = 0.05  \quad P(A \mid D_3) = 0.02 \quad P(D_1) = 0.2 \quad P(D_2) = 0.3 \quad  P(D_3) = 0.5 $$

Queremos obter `$P(A)$`.

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## Teorema da Probabilidade Total - II

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## Teorema da Probabilidade Total - II

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## Teorema da Probabilidade Total - II

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## Teorema da Probabilidade Total - II

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## Teorema da Probabilidade Total - II

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## Teorema da Probabilidade Total - III

* Os eventos `$D_1$`, `$D_2$` e `$D_3$` são disjuntos pois as distribuidoras são distintas e não tem relação uma com as outras.

* O evento `$A$` pode ser representado como a união dos eventos disjuntos `$A \cap D_1$`, `$A \cap D_2$` e `$A \cap D_3$`.

Dessa forma,

`$$A = (A \cap D_1) \cup (A \cap D_2) \cup (A \cap D_3).$$`

Então

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## Teorema da Probabilidade Total - IV

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## Teorema da Probabilidade Total - V

| 📝 Definição 40            |
|:---------------------------|
| Seja `$A$` um evento não-vazio. Uma família de eventos `$A_1, A_2, \ldots, A_k$`, todos não-vazios, é uma **<span style="color:orange">partição</span>** de `$A$` se, e somente se, satisfaz as seguintes condições: |
|                            |
|  * `$A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_k= A$` (eventos exaustivos) e |
|                            |
|  * `$A_1 \cap A_j = \emptyset, \forall \; i \neq j$` (eventos mutuamente exclusivos).   |

`$\phantom{********}$`

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## Teorema da Probabilidade Total - VI

| 📝 Definição 41            |
|:---------------------------|
| **<span style="color:orange">Teorema da Probabilidade Total</span>**: Considere o espaço amostral `$\Omega$` particionado em K eventos `$D_1, D_2, \ldots, D_k$` e que `$P(D_i) > 0$`, `$\forall i = 1, \ldots, k$`. Então, para qualquer evento A referente ao espaço amostral `$\Omega$`, temos que: $$ P(A) = \sum_{i = 1}^{k} P(A \mid D_i) P(D_i).$$   |

>**Idéia da demonstração**: Considere `$A = (A \cap D_1) \cup (A \cap D_2) \cup \ldots \cup (A \cap D_k)$`}, observe que os eventos `$(A \cup D_i)$`, `$i = 1, \ldots, k$` são disjuntos e aplique a regra do produto, de maneira similar ao procedimento realizado para resolver o exemplo anterior.

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## Teorema da Probabilidade Total - VII

#### Exemplo 37

Num total de `$25$` peças, `$5$` delas sofreram excessivo encolhimento. Se duas peças são selecionadas ao acaso, qual será a probabilidade de que a segunda tenha sofrido excessivo encolhimento?

**Solução:**

Seja `$E_i=$` "i-ésima peça ter sofrido excessivo encolhimento", `$i=1,2$`. Note que
$$ P(E_1)=5/25, P(E_1^c)=20/25, P(E_2|E_1)=4/24 \hbox{ e } P(E_2|E_1^c)=5/24. $$

Além disso, `$E_1,E_1^c$` formam uma partição de `$\Omega$`, portanto o teorema anterior pode ser utilizado para encontrar `$P(E_2)$` e fornece

`$$\begin{align*}
P(E_2)&=P(E_2|E_1)P(E_1)+P(E_2|E_1^c)P(E_1^c)=\frac{5}{25}\frac{4}{24}+\frac{20}{25}\frac{5}{24}\\
&=\frac{1}{30}+\frac{1}{6}=\frac{1}{5}.
\end{align*}$$`

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## Teorema de Bayes - I

Em muitas situações, precisamos calcular a probabilidade condicional de um evento, por exemplo, `$P(A \mid B)$`, quando conhecemos a `$P(B \mid A)$`.

#### Exemplo 36 - II

Sabendo que o insumo escolhido é adulterado, qual a probabilidade de que tenha sido fornecido pela distribuidora `$D_1$`?

Queremos obter a `$P(D_1 \mid A)$`.

Vimos que

`$$P(A \mid D_1) = 0.2 \qquad  P(A \mid D_2) = 0.05 \qquad  P(A \mid D_3) = 0.02$$`

`$$P(D_1) = 0.2 \qquad P(D_2) = 0.3 \qquad  P(D_3) = 0.5$$`

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## Teorema de Bayes - II

#### Exemplo 36 - III

Da teoria de probabilidade condicional, sabemos que:

`$$P(D_1 \mid A) =  \frac{P(D_1 \cap A)}{P(A)}.$$`

Por outro lado, pela regra do produto de probabilidades, temos que

$$ P(D_1 \cap A) = P(A \mid D_1) P(D_1) = 0.2 \times 0.2 = 0.04$$

e, pelo teorema da probabilidade total, a `$P(A) = 0.065$`, pois, como visto,

`$$P(A) = P(A \mid D_1) P(D_1) + P (A \mid D_2) P(D_2) + P(A \mid D_3) P(D_3).$$`

Sendo assim,

`$$P(D_1 \mid A) =  \frac{P(D_1 \cap A)}{P(A)} = \frac{0.04}{0.065} = 0.615.$$`

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## Teorema de Bayes - III

| 📝 Definição 42            |
|:---------------------------|
| **<span style="color:orange">Teorema de Bayes</span>**: Considere o espaço amostral `$\Omega$` particionado em k eventos `$D_1, D_2, \ldots, D_k$` e que `$P(D_i) >0$`, `$\forall i = 1, \ldots, k$`, seja conhecida. Suponha ainda que para um evento A referente ao espaço amostral `$\Omega$` se conheçam as probabilidades `$P(A \mid D_i)$`, `$\forall i = 1, \ldots, k$`. Então, `$$P(D_i \mid A) = \frac{P(A \mid D_i)P(D_i)}{\sum_{i = 1}^{k} P(A \mid D_i) P(D_i)}, i = 1, \ldots, k.$$`  |

`$\phantom{********}$`

>A demonstração desse teorema é similar aos passos executados para resolver `$P(D_1 \mid A)$` no problema dos insumos do hospital e itens adulterados e, portanto, será deixado como exercício.

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