class: center, middle, inverse, title-slide .title[ # MODELOS LINEARES GENERALIZADOS STA13829 ] .subtitle[ ## Modelos de Dose-Resposta ] .author[ ### Nátaly A. Jiménez Monroy ] .institute[ ### LECON/DEST - UFES ] --- [//]: <> (https://pkg.garrickadenbuie.com/extra-awesome-xaringan/intro/index.html#1) [//]: <> (https://pkg.garrickadenbuie.com/xaringanthemer/articles/xaringanthemer.html) [//]: <> (https://www.biostatistics.dk/talks/CopenhagenRuseRs-2019/index.html#1) [//]: <> (https://rstudio-education.github.io/sharing-short-notice/#1) [//]: <> (https://www.kirenz.com/slides/xaringan-demo-slides.html#1) [//]: <> (https://github.com/yihui/xaringan/issues/26) [//]: <> (https://github.com/emitanaka/anicon) [//]: <> (https://github.com/mitchelloharawild/icons) [//]: <> (https://slides.yihui.org/2020-genentech-rmarkdown.html#1) [//]: <> (https://github.com/gadenbuie/xaringanExtra) [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight) class: animated, slideInRight <style> body {text-align: justify} </style> <!-- Justify text. --> # Modelos de retas paralelas - I * Na área de toxicologia é comum o interesse na comparação da eficiência de produtos (fungicidas, inseticidas, medicamentos, etc.) ou tratamentos. Considera-se o modelo logístico linear com uma variável quantitativa `\(X\)` (dose ou `\(\log\)`(dose)) e `\(k\)` produtos a serem testados. Os preditores lineares a serem considerados são: -- >**<span style="color:orange">Retas concorrentes</span>** $$ \text{logit}(p_{ij})=\alpha_j + \beta_j \log(\text{dose}_i),\quad i=1,\ldots, k $$ -- >**<span style="color:orange">Retas paralelas</span>** $$ \text{logit}(p_{ij})=\alpha_j + \beta \log(\text{dose}_i),\quad i=1,\ldots, k $$ -- >**<span style="color:orange">Retas com intercepto comum</span>** $$ \text{logit}(p_{ij})=\alpha + \beta_j \log(\text{dose}_i),\quad i=1,\ldots, k $$ -- >**<span style="color:orange">Retas coincidentes</span>** $$ \text{logit}(p_{ij})=\alpha + \beta \log(\text{dose}_i),\quad i=1,\ldots, k $$ --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Modelos de retas paralelas - II O ajuste desses modelos aos dados é testado através das diferenças dos *deviances* residuais. No caso em que existem evidências de que o modelo de retas paralelas se ajusta bem aos dados, tem-se que a dose efetiva `\(\left(\hat{\theta}_j^{(p)}\right)\)` para `\(100p\%\)` dos indivíduos é obtida por: $$ \ln\left(\frac{p}{1-p}\right)=\hat{\alpha}_j+\hat{\beta}\hat{\theta}_j^{(p)},\quad j=1,2,\ldots,J. $$ Portanto, para `\(j\neq j'\)`, tem-se `\begin{align*} \frac{\hat{\alpha}_j-\hat{\alpha}_{j'}}{\hat{\beta}}=\hat{\theta}_{j'}^{(p)}-\hat{\theta}_{j}^{(p)}. \end{align*}` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Modelos de retas paralelas - III Se `\(x=\ln(\text{dose})=\ln(d)\)`, então `\begin{align*} \frac{\hat{\alpha}_j-\hat{\alpha}_{j'}}{\hat{\beta}}=\ln\left\{\frac{\hat{d}_{j'}^{(p)}}{\hat{d}_j^{(p)}}\right\}=\ln(\hat{\rho}_{jj'})\Rightarrow \hat{\rho}_{jj'}=\exp\left(\frac{\hat{\alpha}_j-\hat{\alpha}_{j'}}{\hat{\beta}}\right), \end{align*}` sendo `\(\hat{\rho}_{jj'}\)` a estimativa da eficiência relativa `\(\rho_{jj'}\)` do produto `\(j\)` em relação ao `\(j'\)` e `\(\ln(\hat{\rho}_{jj'})=\ln\left(\hat{d}_{j'}^{(p)}\right)-\ln\left(\hat{d}_{j}^{(p)}\right)\)` medindo a diferença horizontal entre as duas retas paralelas. Portanto, `\(\rho_{jj'}\)` é a razão de duas doses igualmente efetivas. --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo - I Os dados são referentes a um experimento em que três inseticidas são aplicados em um determinado grupo de insetos. Posteriormente foi verificado o número de sobreviventes para cada dose aplicada. <div class="datatables html-widget html-fill-item" id="htmlwidget-8278d0c568c1700e61cd" style="width:100%;height:auto;"></div> <script type="application/json" data-for="htmlwidget-8278d0c568c1700e61cd">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"extensions":["Buttons"],"data":[[3,5,19,19,24,35,2,14,20,27,41,40,28,37,46,48,48,50],[50,49,47,50,49,50,50,49,50,50,50,50,50,50,50,50,50,50],[2,2.64,3.48,4.59,6.06,8,2,2.64,3.48,4.59,6.06,8,2,2.64,3.48,4.59,6.06,8],["DDT","DDT","DDT","DDT","DDT","DDT","Gamma_BHC","Gamma_BHC","Gamma_BHC","Gamma_BHC","Gamma_BHC","Gamma_BHC","DDT_Gamma_BHC","DDT_Gamma_BHC","DDT_Gamma_BHC","DDT_Gamma_BHC","DDT_Gamma_BHC","DDT_Gamma_BHC"]],"container":"<table class=\"compact\">\n <thead>\n <tr>\n <th>Mortos<\/th>\n <th>Expostos<\/th>\n <th>Dose<\/th>\n <th>Inseticida<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tBp","buttons":[{"extend":"csv","filename":"Inseticidas"},{"extend":"excel","filename":"Inseticidas"},{"extend":"pdf","filename":"Inseticidas"}],"pageLength":10,"columnDefs":[{"className":"dt-right","targets":[0,1,2]},{"name":"Mortos","targets":0},{"name":"Expostos","targets":1},{"name":"Dose","targets":2},{"name":"Inseticida","targets":3}],"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo - II <img src="Modelos_dose_resposta_files/figure-html/unnamed-chunk-2-1.png" width="45%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo - III **Modelo** Seja `\(y_{ijk}\)` o número de insetos mortos após a aplicação da `\(j-\)`ésima dose do `\(i-\)`ésimo inseticida no `\(k-\)`ésimo inseto, com `\(i=1,2,3\)`, `\(j=1,\ldots,6\)` e `\(k=1,\ldots,n_{ij}\)`. Então `\begin{align*} y &\sim \text{Bin}(n_{ij},\pi(x_{ij}))\\ \log\left(\frac{\pi(x_{ij})}{1-\pi(x_{ij})}\right) &= \beta_1 + \beta_2 x_{ij}. \end{align*}` >No R: ``` r resp<-with(insetic,cbind(Mortos,Expostos-Mortos)) fit.model1<-glm(resp~1, family=binomial) ``` Desvio: 413.6475943 --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo - IV ``` r fit.model2<-glm(resp~log(Dose), family=binomial,data = insetic) anova(fit.model1,fit.model2,test = "Chisq") ``` ``` ## Analysis of Deviance Table ## ## Model 1: resp ~ 1 ## Model 2: resp ~ log(Dose) ## Resid. Df Resid. Dev Df Deviance Pr(>Chi) ## 1 17 413.65 ## 2 16 246.83 1 166.82 < 2.2e-16 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ``` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo - V ``` r fit.model3<-glm(resp~Inseticida, family=binomial, data=insetic) anova(fit.model2,fit.model3,test = "Chisq") ``` ``` ## Analysis of Deviance Table ## ## Model 1: resp ~ log(Dose) ## Model 2: resp ~ Inseticida ## Resid. Df Resid. Dev Df Deviance Pr(>Chi) ## 1 16 246.83 ## 2 15 234.71 1 12.118 0.0004993 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ``` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo - VI ``` r fit.model4<-glm(resp~Inseticida+log(Dose), family=binomial,data=insetic) anova(fit.model3,fit.model4,test = "Chisq") ``` ``` ## Analysis of Deviance Table ## ## Model 1: resp ~ Inseticida ## Model 2: resp ~ Inseticida + log(Dose) ## Resid. Df Resid. Dev Df Deviance Pr(>Chi) ## 1 15 234.714 ## 2 14 21.282 1 213.43 < 2.2e-16 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ``` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo - VII O modelo anterior não é um modelo de retas paralelas, para isso, devemos retirar o intercepto do modelo. Assim, ``` r fit.model5<-glm(resp~Inseticida+log(Dose)-1, family=binomial,data=insetic) ``` ``` ## ## Call: ## glm(formula = resp ~ Inseticida + log(Dose) - 1, family = binomial, ## data = insetic) ## ## Coefficients: ## Estimate Std. Error z value Pr(>|z|) ## InseticidaDDT -4.5553 0.3611 -12.613 < 2e-16 *** ## InseticidaDDT_Gamma_BHC -1.4248 0.2851 -4.998 5.79e-07 *** ## InseticidaGamma_BHC -3.8425 0.3327 -11.550 < 2e-16 *** ## log(Dose) 2.6958 0.2157 12.498 < 2e-16 *** ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ## ## (Dispersion parameter for binomial family taken to be 1) ## ## Null deviance: 429.268 on 18 degrees of freedom ## Residual deviance: 21.282 on 14 degrees of freedom ## AIC: 92.753 ## ## Number of Fisher Scoring iterations: 4 ``` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo - IX Dessa forma, o modelo de retas paralelas está dado por `\begin{align*} \log\left(\frac{\pi(x_{1j})}{1-\pi(x_{1j})}\right) &= -4,555 + 2,696 x_{1j}, \quad \text{para DDT}\\ \log\left(\frac{\pi(x_{2j})}{1-\pi(x_{2j})}\right) &= -1,425 + 2,696 x_{2j}, \quad \text{para } \gamma-\text{BHC}\\ \log\left(\frac{\pi(x_{3j})}{1-\pi(x_{3j})}\right) &= -3,843 + 2,696 x_{3j}, \quad \text{para DDT}+\gamma-\text{BHC}\\ \end{align*}` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo - X **Algumas doses letais de interesse:** - Para DDT: ``` r dose.p(fit.model5, cf = c(1,4), p = 1:3/4) ``` ``` ## Dose SE ## p = 0.25: 1.282249 0.05629309 ## p = 0.50: 1.689781 0.05366852 ## p = 0.75: 2.097313 0.06868826 ``` - Para `\(\gamma-\)`BHC: ``` r dose.p(fit.model5, cf = c(2,4), p = 1:3/4) ``` ``` ## Dose SE ## p = 0.25: 0.1209834 0.09836533 ## p = 0.50: 0.5285155 0.07734550 ## p = 0.75: 0.9360477 0.06644759 ``` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo - XI - Para DDT+ `\(\gamma-\)` BHC: ``` r dose.p(fit.model5, cf = c(3,4), p = 1:3/4) ``` ``` ## Dose SE ## p = 0.25: 1.017838 0.05931335 ## p = 0.50: 1.425370 0.05047633 ## p = 0.75: 1.832902 0.06086062 ``` **Mudando a função de ligação em caso de suspeita de assimetria:** - Para DDT+ `\(\gamma-\)` BHC: ``` r dose.p(update(fit.model5, family = binomial(link=cloglog)),cf = c(3,4), p = 1:3/4) ``` ``` ## Dose SE ## p = 0.25: 0.9444726 0.07355079 ## p = 0.50: 1.4687932 0.05344836 ## p = 0.75: 1.8820716 0.05816830 ``` --- class: animated, hide-logo, bounceInDown ## Política de proteção aos direitos autorais > <span style="color:grey">O conteúdo disponível consiste em material protegido pela legislação brasileira, sendo certo que, por ser o detentor dos direitos sobre o conteúdo disponível na plataforma, o **LECON** e o **NEAEST** detém direito exclusivo de usar, fruir e dispor de sua obra, conforme Artigo 5<sup>o</sup>, inciso XXVII, da Constituição Federal e os Artigos 7<sup>o</sup> e 28<sup>o</sup>, da Lei 9.610/98. 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Jiménez.</span></font>