PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS I STA13827
Experimentos com um Fator
Nátaly A. Jiménez Monroy
LECON/DEST - UFES
Análise de variância (ANOVA)
A análise de variância consiste em decompor a variação total das observações do experimento em partes que podem ser atribuídas a causas conhecidas (tratamentos, blocos, etc) e em partes atribuídas a causas não controladas e/ou não controláveis (erro experimental ou resíduo).
Em resumo…
Variação Total= Variação controlada + Variação não-controlada
Assume-se que há \(a\) tratamentos ou diferentes níveis de um único fator a serem comparados.
| Tratamento (Níveis) | Observações | Total | Média |
|---|---|---|---|
| 1 | \(y_{11}\quad y_{12}\quad \cdots\quad y_{1n}\) | \(y_{1\cdot}\) | \(\bar{y}_{1\cdot}\) |
| 2 | \(y_{21}\quad y_{22}\quad \cdots\quad y_{2n}\) | \(y_{2\cdot}\) | \(\bar{y}_{2\cdot}\) |
| \(\vdots\) | \(\vdots\qquad \vdots\qquad \cdots\qquad \vdots\) | \(\vdots\) | \(\vdots\) |
| \(a\) | \(y_{a1}\quad y_{a2}\quad \cdots\quad y_{an}\) | \(y_{a\cdot}\) | \(\bar{y}_{a\cdot}\) |
| Total | \(y_{\cdot\cdot}\) | \(\bar{y}_{\cdot\cdot}\) |
\(y_{ij}\) representa a \(j-\)ésima observação do nível ou do tratamento \(i\).
\[\begin{align*} y_{i\cdot}&=\sum_{j=1}^n y_{ij},\\ \bar{y}_{i\cdot}&=\sum_{j=1}^n \frac{y_{ij}}{n},\\ \bar{y}_{\cdot\cdot}&=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n \frac{y_{ij}}{an}. \end{align*}\]
Exemplo
Considere um experimento cujo objetivo é verificar se a inclusão de raízes e tubérculos, como suplementação de inverno na alimentação de vacas em lactação, aumenta a produção de leite. Consideram-se 24 animais, três tipos de suplementos e uma testemunha (placebo), que são:
Sem suplemento (S)
Mandioca (M)
Araruta (A)
Batata doce (B).
Para definir o tipo de suplemento que será dado a cada animal, realiza-se um sorteio aleatório enumerando cada um dos 24 animais (parcelas) que participarão do estudo (\(1\) a \(24\)) e, em seguida, colocam-se os tratamentos em uma sequência, como a dado a seguir:
\[S_1\,\, S_2\,\, S_3\,\, S_4\,\, S_5\,\, S_6\qquad M_1\,\, M_2\,\,M_3\,\, M_4\,\, M_5\,\, M_6\] \[A_1\,\, A_2\,\, A_3\,\, A_4\,\, A_5\,\, A_6\qquad B_1\,\, B_2\,\, B_3\,\, B_4\,\, B_5\,\, B_6\]
Utilizando um gerador de números aleatórios, aloca-se o animal a cada tipo de suplemento. Suponha que a sequência de números aleatórios sorteada, tenha sido
\[24\,\, 23\,\, 22\,\, 14\,\, 1\,\, 13\quad 6\,\, 20\,\, 8\,\, 7\,\, 9\,\, 4\] \[21\,\, 15\,\, 17\,\, 16\,\, 19\,\, 2\quad 11\,\, 5\,\, 10\,\, 3\,\, 18\,\, 12\]
Assim, temos a configuração do experimento a seguir:
| Vaca | Tratamento | Vaca | Tratamento | Vaca | Tratamento |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | \(S_5\) | 9 | \(M_5\) | 17 | \(A_3\) |
| 2 | \(A_6\) | 10 | \(B_3\) | 18 | \(B_5\) |
| 3 | \(B_4\) | 11 | \(B_1\) | 19 | \(A_5\) |
| 4 | \(M_6\) | 12 | \(B_6\) | 20 | \(M_2\) |
| 5 | \(B_2\) | 13 | \(S_6\) | 21 | \(A_1\) |
| 6 | \(M_1\) | 14 | \(S_4\) | 22 | \(S_3\) |
| 7 | \(M_4\) | 15 | \(A_2\) | 23 | \(S_2\) |
| 8 | \(M_3\) | 16 | \(A_4\) | 24 | \(S_1\) |
Consideremos as produções médias diárias (kg) de leite a 4% de gordura das vacas submetidas a administração de raízes e tubérculos, como suplementação de inverno na alimentação de vacas em lactação.
| Id. | Prod. | Id. | Prod. | Id. | Prod. | Id. | Prod. |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 22,81 | 7 | 25,12 | 13 | 23,54 | 19 | 35,04 |
| 2 | 35,19 | 8 | 24,36 | 14 | 25,42 | 20 | 22,37 |
| 3 | 20,37 | 9 | 22,94 | 15 | 32,47 | 21 | 35,42 |
| 4 | 24,80 | 10 | 26,54 | 16 | 34,48 | 22 | 23,43 |
| 5 | 24,37 | 11 | 22,15 | 17 | 33,79 | 23 | 21,07 |
| 6 | 23,40 | 12 | 24,06 | 18 | 19,54 | 24 | 19,58 |
Seja \(y_{ij}\) o valor da produção de leite da \(j-\)ésima vaca que recebeu o \(i-\)ésimo tratamento. Os valores das produções (kg) de leite a 4% de gordura das vacas que participaram do estudo podem ser resumidos na forma:
| Trat | Observações | Média |
|---|---|---|
| S | \(19,58 \quad 21,07 \quad 23,43 \quad 25,42 \quad 22,81 \quad 23,54\) | 22,64 |
| M | \(23,40 \quad 22,37 \quad 24,36 \quad 25,12 \quad 22,94 \quad 21,56\) | 23,29 |
| A | \(35,42 \quad 32,47 \quad 34,48 \quad 33,79 \quad 35,04 \quad 35,19\) | 34,39 |
| B | \(22,15 \quad 24,37 \quad 26,54 \quad 20,37 \quad 19,54 \quad 24,06\) | 22,83 |
Objetivo
Testar se há diferença na produção média de leite de acordo com o tipo de suplementação.
Medidas descritivas:
Análise
Aplicar o teste \(t\) para amostras independentes e analisar todos os pares de médias.
Hipóteses: \[ \textrm{H}_0: \mu_1-\mu_2=0\quad \textrm{vs. } \textrm{H}_1: \mu_1-\mu_2\neq 0. \] —
Estatística de teste: \[ t_{0}=\dfrac{(\bar{y}_1-\bar{y}_2)-(\mu_1-\mu_2)}{S_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}, \] onde \[ S_p^2=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}} \]
Resultados
Resumindo:
| S | M | A | B | |
|---|---|---|---|---|
| S | – | ND | ** | ND |
| M | – | – | ** | ND |
| A | – | – | – | ** |
| B | – | – | – | – |
ND: Sem diferença significativa.
**: Diferença significativa ao nível \(5\%\).
Warning
Esta solução é INCORRETA, pois leva a uma distorção do Erro Tipo I.
Suponha que seja testada a igualdade das quatro médias usando comparações pareadas. Há 6 pares possíveis e, se a probabilidade de aceitar corretamente a hipótese nula para cada par testado é de \((1-\alpha)=0,95\), então a probabilidade de aceitar corretamente a hipótese nula para todos os 6 pares é \((0,95)^6=0,7359\), se os testes forem independentes.
Solução apropriada para testar a igualdade de várias médias
Análise de Variância
Modelo estatístico
O modelo para descrever os dados de um experimento pode ser escrito como
\[\begin{equation} y_{ij}=\mu_i+\epsilon_{ij}, \quad i=1,\ldots,a,\quad j=1,\ldots,n,\qquad \text{(1)} \end{equation}\]onde
\(y_{ij}\) representa a \(ij-\)ésima observação
\(\mu_i\) é a média do \(i-\)ésimo nível do fator ou tratamento
- \(\epsilon_{ij}\) é o erro aleatório, que incorpora todas as outras fontes de variabilidade no experimento (medição, fatores não controlados, diferenças entre unidades experimentais, ruídos, etc). Assume-se que \(\textrm{E}(\epsilon_{ij})=0\), de modo que \(\textrm{E}(y_{ij})=\mu_{i}\).
Observação
Esse modelo é chamado Modelo de Médias.
Forma alternativa
Seja
\[\mu_i=\mu+\tau_i,\qquad i=1,2,\ldots,a.\] A Equação (1) torna-se o Modelo de Efeitos, escrito como
\[\begin{align*} y_{ij}=\mu+\tau_i+\epsilon_{ij}, \qquad i&=1,\ldots,a,\\ j&=1,\ldots, n, \end{align*}\]
onde
\(y_{ij}\) é o valor observado na unidade \(j\) que recebeu o tratamento \(i\)
\(\mu\) é um parâmetro constante, comum a todos os tratamentos, chamado média geral (quando os dados são balanceados)
\(\tau_i\) é um parâmetro único que representa o efeito do \(i-\)ésimo tratamento
\(\epsilon_{ij}\) é um componente do erro aleatório, associado à \(j-\)ésima repetição do \(i-\)ésimo tratamento.
Objetivo
- Se os \(a\) tratamentos foram selecionados especificamente pelo experimentador, o interesse é testar hipóteses sobre as médias dos tratamentos e as conclusões aplicam apenas aos níveis do fator considerados na análise. Interessa também estimar os parâmetros do modelo \((\mu, \tau_i,\sigma^2)\) \(\Longrightarrow\) Modelo de Efeitos Fixos.
- Se os \(a\) tratamentos foram selecionados como uma amostra aleatória de uma população maior de tratamentos, o interesse é estender as conclusões a todos os tratamentos na população. Nesse caso, os \(\tau_i\) são variáveis aleatórias e os testes de hipóteses recaem sobre a variabilidade de \(\tau_i\) tentando-se estimar essa variabilidade \(\Longrightarrow\) Modelo de Efeitos Aleatórios ou Modelo de Componentes de Variância.
Modelo de Efeitos Aleatórios
\[\begin{align}
y_{ij}=\mu+\tau_i+\epsilon_{ij},\quad i&=1,\ldots,a,\\ j&=1,\ldots,n,
\end{align}\]
onde
\(y_{ij}\) é a observação do \(i-\)ésimo tratamento na \(j-\)ésima unidade experimental (variável resposta);
\(\mu\) é a média global;
\(\tau_i\) é o efeito do \(i-\)ésimo tratamento;
\(\epsilon_{ij}\) é o erro associado ao \(i-\)ésimo tratamento na \(j-\)ésima unidade experimental. Incorpora todas as fontes de variabilidade não controladas no experimento.
Tem-se que \(\tau_i\) e \(\epsilon_{ij}\) são variáveis aleatórias independentes entre si, com \(\tau_i\sim N(0,\sigma_{\tau}^2)\) e \(\epsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2)\).
Importante
A condição \(E(\tau_i)=0\) é similar à condição \(\sum_{i=1}^a \tau_i=0\).
Estabelece que o efeito esperado do \(i-\)ésimo nível, considerado como um desvio de \(\mu\), é zero.
Se a variância dos efeitos dos tratamentos \(\tau_i\) é \(\sigma_{\tau}^2\), a variância da resposta é dada por
\[\text{var}(y_{ij})=\sigma_{\tau}^2+\sigma^2.\]
As variâncias \(\sigma_{\tau}^2\) e \(\sigma^2\) são chamadas Componentes de variância.
- No modelo de efeitos aleatórios, os efeitos têm interpretação diferente. As hipóteses testadas são:
\[\begin{cases}
\text{H}_0:& \sigma_{\tau}^2=0\\
\text{H}_1:& \sigma_{\tau}^2>0.
\end{cases}\]
Se \(\sigma_{\tau}^2=0\), todos os tratamentos são idênticos, mas se \(\sigma_{\tau}>0\), há variabilidade entre os tratamentos.
Exemplos
Para estudar o efeito de diferentes operadores sobre o tempo de execução de uma tarefa, em uma determinada máquina, seleciona-se uma amostra de cinco operadores de um grupo de \(N\) operadores possíveis.
Para estudar o efeito dos trilhos usados nas estradas de ferro, sobre o tempo de percurso de certo tipo de onda resultante da pressão longitudinal dos trilhos, selecionaram-se aleatoriamente seis trilhos e são feitas três medições.
Modelo de Efeitos Fixos
\[\begin{align}
y_{ij}=\mu+\tau_i+\epsilon_{ij},\quad i&=1,\ldots,a,\\ j&=1,\ldots,n,
\end{align}\]
onde
\(y_{ij}\) é a observação do \(i-\)ésimo tratamento na \(j-\)ésima unidade experimental (variável resposta);
\(\mu\) é a média geral, comum a todos os tratamentos;
\(\tau_i\) representa o efeito do \(i-\)ésimo tratamento;
\(\epsilon_{ij}\) é o erro associado ao \(i-\)ésimo tratamento na \(j-\)ésima unidade experimental. Incorpora todas as fontes de variabilidade não controladas no experimento.
Pressupostos da ANOVA
Os efeitos principais devem ser aditivos: Nos experimentos, cada observação segue um modelo linear aditivo \(y_{ij}=\mu+\tau_i+\epsilon_{ij}\).
Os erros de observação são independentes: \[\text{cov}(\epsilon_{ij},\epsilon_{ij}')=0.\] —
Os erros são homoscedásticos: Cada tratamento deve ter aproximadamente a mesma variância.
Os erros são normalmente distribuídos: Para que a ANOVA seja válida, os erros devem ser originários da mesma população.
Em resumo…
\[\epsilon_{ij}\sim N(0,\sigma^2).\]
Hipóteses
O objetivo é, em geral, verificar se existe diferença significativa entre, pelo menos, duas médias de tratamentos. As hipóteses testadas são:
\[\begin{align*} \textrm{H}_0&: \mu_1=\mu_2=\cdots=\mu_a\\ \textrm{H}_1&: \mu_i\neq \mu_i' \quad \textrm{para pelo menos um } i\neq i'. \end{align*}\]Forma equivalente
\[\begin{align*}
\textrm{H}_0&: \tau_1=\tau_2=\cdots=\tau_a=0\\
\textrm{H}_1&: \tau_i\neq 0 \quad \textrm{para pelo menos um } i.
\end{align*}\]
Estimação dos Parâmetros - MQO
Funções de Parâmetros Completamente Estimáveis
Uma função dos parâmetros de qualquer modelo linear é dita estimável se, e somente se, pode ser escrita como o valor esperado de uma combinação linear das variáveis resposta. Apenas funções estimáveis dos parâmetros têm estimativas lineares não-viesadas únicas. Para o modelo de análise de variância de uma via, cada função estimável tem a forma \[\begin{align*} \mathbb{E}\left[\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n a_{ij}y_{ij}\right]&=\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n a_{ij}\mathbb{E}[y_{ij}]\\ &=\sum_{i=1}^a \sum_{j=1}^n a_{ij} (\mu + \tau_i)=\sum_{i=1}^a b_i(\mu + \tau_i), \end{align*}\] onde \(b_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}\) e os \(a_{ij}\) são números reais.
Observação
Claramente \(\mu+\tau_1\) é estimável, pois pode ser obtida fixando \(b_1=1\) e \(b_2=b_3=\cdots=b_a=0\). Da mesma forma, cada \(\mu+\tau_i\) é estimável.
Obtenção das Estimativas
\[L(\mu,\tau_1,\ldots,\tau_a)=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n \epsilon_{ij}^2=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (y_{ij}-\mu-\tau_i)^2\] Derivando-se \(L\) em relação a cada um dos parâmetros:
\[\begin{align*} \frac{\partial L(\mu,\tau_1,\ldots,\tau_a)}{\partial\mu}&=-2\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (y_{ij}-\mu-\tau_i)\\ \frac{\partial L(\mu,\tau_1,\ldots,\tau_a)}{\partial\tau_i}&=-2\sum_{j=1}^n (y_{ij}-\mu-\tau_i)\\ \end{align*}\]
Igualando-se os resultados a zero, temos:
\[\begin{align*} -2\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (y_{ij}-\hat{\mu}-\hat{\tau}_i)&=0\\ -2\sum_{j=1}^n (y_{ij}-\hat{\mu}-\hat{\tau}_i)&=0\\ \end{align*}\]
Desenvolvendo os somatórios, obtemos o sistema de equações normais:
\[\begin{align*} \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n y_{ij} &=an\widehat{\mu}+n\sum_{i=1}^a \widehat{\tau}_i\\ \sum_{j=1}^n y_{ij}&= n\widehat{\mu}+n\widehat{\tau}_i \end{align*}\]
Problema
O conjunto de equações normais não é linearmente independente. Não existe solução única para os parâmetros a serem estimados.
Solução
Impor a restrição: \[\sum_{i=1}^a \hat\tau_i=0\] Nessas condições:
\[\begin{align*} \hat\mu&=\overline{y}_{\cdot\cdot}\\ \hat{\tau}_i&=\overline{y}_{i\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot}, \quad i=1,\ldots,a. \end{align*}\]Decomposição das Somas de Quadrados
\[\begin{align*} &\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (y_{ij}-\overline{y}_{\cdot\cdot})^2=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (y_{ij}-\overline{y}_{i\cdot}+\overline{y}_{i\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot})^2\\ &=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n [(y_{ij}-\overline{y}_{i\cdot})^2+(\overline{y}_{i\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot})^2+2(y_{i\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot})(y_{ij}-\overline{y}_{i\cdot})]\\ &=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (y_{ij}-\overline{y}_{i\cdot})^2+\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (\overline{y}_{i\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot})^2\\ &+2\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (y_{i\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot})(y_{ij}-\overline{y}_{i\cdot}) \end{align*}\]
\[\begin{align*} \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (y_{ij}-\overline{y}_{\cdot\cdot})^2&=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (y_{ij}-\overline{y}_{i\cdot})^2+\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (\overline{y}_{i\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot})^2, \end{align*}\]
pois
\[\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (y_{i\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot})(y_{ij}-\overline{y}_{i\cdot})=0.\]
Logo,
\[\begin{align*} \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (y_{ij}-\overline{y}_{\cdot\cdot})^2&=\underbrace{\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (y_{ij}-\overline{y}_{i\cdot})^2}+\underbrace{\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n (\overline{y}_{i\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot})^2}\\ SQT &= \phantom{****}\,SQE\qquad\quad + \phantom{****}SQTr \end{align*}\]
Desenvolvendo-se os quadrados, obtemos
\[\begin{align*} SQT&=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n y_{ij}^2-\dfrac{y_{\cdot\cdot}^2}{an}\qquad SQTr=\sum_{i=1}^a \dfrac{y_{i\cdot}^2}{n}-\dfrac{y_{\cdot\cdot}^2}{an}\\ SQE&=SQT-SQTr \end{align*}\]
Lembrete
A variância é calculada como \(\dfrac{SQ}{gl}\), onde \(SQ\) representa a soma de quadrados dos desvios com respeito à média e \(gl\) são os graus de liberdade.
- Na ANOVA temos quantidades semelhantes a variâncias, chamadas de Quadrados Médios (QM): \[QMTr=\dfrac{SQTr}{gl_{Tr}}\qquad QME=\dfrac{SQE}{gl}.\] Observe que não são médias porque o denominador não é \(n\).
Há \(N=an\) observações totais, logo \(SQT\) tem \(N-1\) graus de liberdade.
Há \(a\) tratamentos, logo \(SQTr\) tem \(a-1\) graus de liberdade.
Há \(n\) réplicas que proporcionam \(n-1\) graus de liberdade para estimar o erro experimental. Dado que há \(a\) tratamentos, SQE tem \(a(n-1)\) graus de liberdade (ou \(N-a\) gl). Assim,
\[QMTr=\dfrac{SQTr}{a-1}\qquad QME=\dfrac{SQE}{N-a}.\]
Tabela de Análise de Variância - ANOVA
| Fonte de Variação | g.l. | SQ | QM | \(F_0\) |
|---|---|---|---|---|
| Tratamentos (Entre) | \(a-1\) | \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^a y_{i\cdot}^2-\frac{y_{\cdot\cdot}^2}{N}\) | \(\frac{SQTr}{a-1}\) | \(\frac{QMTr}{QME}\) |
| Erro (Dentro) | \(N-a\) | \(SQT-SQTr\) | \(\frac{SQE}{N-a}\) | |
| Total | \(N-1\) | \(\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^n y_{ij}^2-\frac{y_{\cdot\cdot}^2}{N}\) | — |
Exemplo - Continuação
Verificação do Modelo
Os resíduos são dados por
\[\hat{\epsilon}_{ij}=y_{ij}-\overline{y}_{i\cdot}\]
Deve-se verificar:
Presença de dados discrepantes.
Independência dos resíduos.
Homoscedasticidade.
Distribuição Normal dos resíduos.
Dados discrepantes
Estimar os resíduos padronizados
\[z_{ij}=\frac{\hat{\epsilon}_{ij}}{\sqrt{QME}}.\]
Se a normalidade dos resíduos for satisfeita, aproximadamente 99,7% deles devem estar no intervalo \((-3;3)\). Assim, resíduos fora desse intervalo, são considerados discrepantes.
Independência
Usa-se o gráfico dos resíduos padronizados versus a ordem de coleta dos dados.
Gráfico de resíduos versus valores preditos.
Pode-se aplicar o Teste de Durbin-Watson.
Homoscedasticidade
Análise gráfica, por exemplo box-plot ou gráfico de dispersão para tratamentos vs. resíduos.
Teste de Hartley (Precisa ter igual número de réplicas em cada tratamento).
Teste de Bartlett (Diferente número de repetições. Sensível à não normalidade dos dados).
Teste de Cochran (Pode ser usado com diferente número de repetições por tratamento).
Teste de Goldfeld-Quandt.
Transformação de Box-Cox
\[y^*=\begin{cases} \frac{y^{\lambda}-1}{\lambda}& \text{se }\lambda\neq 0\\ \ln{y} & \text{se }\lambda = 0. \end{cases}\]
A utilização da transformação Box-Cox exige que todos os valores da sequência de entrada sejam positivos e diferentes de zero. Se a sequência de entrada não atende a esses requisitos, ela pode ser movida transformada para garantir os valores positivos.
Dependendo do valor de \(\lambda\), a transformação de Box-Cox inclui os casos especiais:
\[\begin{align*} \lambda&=-1.0\quad y^*=\frac{1}{y}\\ \lambda&=-0.5\quad y^*=\frac{1}{\sqrt{y}}\\ \lambda&=-0.0\quad y^*=\ln{y}\\ \lambda&=0.5\qquad y^*=\sqrt{y}\\ \lambda&=1.0\qquad y^*=y^2\\ \end{align*}\]
Para determinar o valor ideal do parâmetro \(\lambda\), maximiza-se o logaritmo da função de verossimilhança
\[\begin{align*} f(y,\lambda)&=-\frac{N}{2}\ln\left[\sum_{i=0}^{N-1} \frac{(y(\lambda)-\bar{y}(\lambda))^2}{N} \right]+(\lambda-1)\sum_{i=1}^{N-1} \ln(y)\\ \bar{y}(\lambda)&=\frac{1}{N}\sum_{i=0}^{N-1} y(\lambda) \end{align*}\]
Isto implica que precisamos selecionar o valor de \(\lambda\) em que esta função atinge seu valor máximo.
- Alguns autores sugerem encontrar o valor ideal de \(\lambda\) com base na procura do maior valor do coeficiente de correlação entre os quantis da função de distribuição normal e a sequência transformada classificada.
A hipótese nula foi rejeitada…e agora?
Próximo passo…
Precisamos determinar quais médias são diferentes.
Comparação duas a duas;
Comparação das médias dos tratamentos com a média do grupo controle;
Comparações múltiplas.
Contrastes
Um contraste é uma combinação linear de parâmetros da forma
\[\Gamma=\sum_{i=1}^a c_i\mu_i \quad \text{ em que } \quad \sum_{i=1}^a c_i=0.\]
Lembrete
Lembrando da definição de função estimável, observamos que todos os contrastes são estimáveis na análise de variância a uma via. Por exemplo, fixando \(b_1=1\), \(b_2=-1\), \(b_3,\ldots,b_a=0\), temos que \(\mu_1-\mu_2\) é uma função estimável. Da mesma forma, cada \(\mu_i-\mu_k\), \(i\neq k\), é estimável.
Exemplo - Continuação
No experimento da suplementação para vacas em lactação, poderia-se pensar que os suplementos 2 e 4 produzem a mesma quantidade de leite, implicando no teste das hipóteses \[\textrm{H}_0: \mu_2=\mu_4\quad \textrm{ vs. }\quad \textrm{H}_1: \mu_2\neq \mu_4.\]
Se houver suspeitas de que a média dos tratamentos 1 e 2 não diferem da média dos tratamentos 3 e 4, temos: \[\textrm{H}_0: \mu_1+\mu_2=\mu_3+\mu_4\quad \textrm{ vs. }\quad \textrm{H}_1: \mu_1+\mu_2\neq \mu_3+\mu_4.\]
Testes de hipóteses usando contrastes
Formas básicas
- Teste t;
- Teste F.
Primeiro, devemos escrever o contraste de interesse em termos das médias dos tratamentos:
\[C=\sum_{i=1}^a c_i\overline{y}_{i\cdot}\]
A variância do contraste é dada por
\[\begin{align*} \text{var}(C)&=\sum_{i=1}^a \text{var}(c_i\overline{y}_{i\cdot})\\ &=\sum_{i=1}^a c_i^2\text{var}(\overline{y}_{i\cdot})\\ &=\frac{\sigma^2}{n}\sum_{i=1}^a c_i^2. \end{align*}\]
Teste t
Dado que não conhecemos a variância do erro, usamos seu estimador. Daí, \(\widehat{\text{var}}(C)=\frac{QME}{n}\sum_{i=1}^a c_i^2.\)
Portanto, a estatística de teste é dada por
\[t_0=\frac{\sum_{i=1}^a c_i\overline{y}_{i\cdot}}{\sqrt{\frac{QME}{n}\sum_{i=1}^a c_i^2}} \sim t_{(N-a)}.\]
Rejeita-se a hipótese nula se \(|t_0|>t_{\alpha/2,N-a}\).
Teste F
Podemos mostrar que
\[t_0^2=F_0=\frac{(\sum_{i=1}^a c_i\overline{y}_{i\cdot})^2}{\frac{QME}{n}\sum_{i=1}^a c_i^2} \sim F_{(\alpha, 1, N-a)}.\]
Rejeita-se a hipótese nula se \(F_0>F_{(\alpha,1,N-a)}\).
Contrastes Ortogonais
Dois contrastes com coeficientes \(c_i\) e \(d_i\) são ortogonais se \[\sum_{i=1}^a c_id_i=0.\]
Para \(a\) tratamentos, o conjunto de \(a-1\) contrastes ortogonais particiona a soma dos quadrados dos tratamentos em \(a-1\) componentes com um grau de liberdade cada. Deste modo, os testes feitos usando contrastes ortogonais são independentes.
Observações
Há várias formas de escolher os coeficientes dos contrastes ortogonais. Usualmente algo na natureza do experimento irá sugerir quais as comparações de interesse;
Em geral, o método de contrastes é útil quando temos comparações pré-planejadas, isto é, contrastes especificados antes de fazer o experimento e analisar os dados.
Exemplo - Continuação
Considere o experimento dos suplementos para vacas. Os contrastes ortogonais apropriados poderiam ser:
| Tratamento | \(C_1\) | \(C_2\) | \(C_3\) |
|---|---|---|---|
| Sem Suplemento | 3 | 0 | 0 |
| Mandioca | -1 | -1 | 1 |
| Araruta | -1 | 2 | 0 |
| Batata doce | -1 | -1 | -1 |
O contraste \(C_1\) compara o efeito médio dos tratamentos com suplemento e sem suplemento.
No contraste \(C_2\) são comparados os efeitos médios da Araruta com a Mandioca e Batata Doce.
O contraste \(C_3\) compara o efeito médio da Mandioca e da Batata Doce.
Importante
Os coeficientes dos contrastes devem ser escolhidos antes de executar o experimento e examinar os dados. A razão para isto é que, se as comparações forem selecionadas após examinar os dados, alguns pesquisadores poderiam construir testes que corresponderiam a grandes diferenças observadas na média.
Assumindo que as hipóteses de pesquisa foram elaboradas antes da realização do experimento temos:
\[\begin{align*} C_1&=3\mu_1-(\mu_2+\mu_3+\mu_4)\\ C_2&=2\mu_3-(\mu_2+\mu_4)\\ C_3&= \mu_2-\mu_4\\ \end{align*}\]
Uma estimativa para qualquer desses contrastes é obtida substituindo-se as médias por suas estimativas, dadas por \(\overline{y}_{i}\), temos por exemplo
\[\widehat{C}_1=3\overline{y}_{1}-(\overline{y}_{2}+\overline{y}_{3}+\overline{y}_{4}).\]
A variância do contraste é dada por
\[\begin{align*} \text{var}(\widehat{C}_1)&=9\text{var}(\overline{y}_{1})+\text{var}(\overline{y}_{2})+\text{var}(\overline{y}_{3})+\text{var}(\overline{y}_{4})\\ &=9\frac{\sigma_1^2}{n}+\frac{\sigma_2^2}{n}+\frac{\sigma_3^2}{n}+\frac{\sigma_4^2}{n}. \end{align*}\]
Assumindo homoscedasticidade, temos
\[\widehat{\text{var}}(\widehat{C}_1)=12\times \frac{\text{QME}}{n}\]
Dessa forma: \(t_0=\frac{−12,6033}{\sqrt{12\times \frac{3,53}{6}}}=-4,74.\)
Observação
A análise dos contrastes ortogonais por meio da ANOVA é conhecido como Desdobramento dos graus de liberdade dos Tratamentos ou Partição das Somas de Quadrados dos Tratamentos.
No caso do exemplo aqui analisado, temos
\[\begin{align*} SQC_1&=\frac{(3\times 135,85 -139,75 - 206,39 - 137,03)^2}{6\times [3² +(-1)^2 + (-1)^2 + (-1)^2]}\\ &=79,42.\\ SQC_2&=\frac{(3\times 206,39 -139,75 - 137,03)^2}{6\times [2² +(-1)^2 + (-1)^2]}\\ &=513,77.\\ SQC_3&=\frac{(139,75 - 137,03)^2}{6\times [(-1)^2 + (-1)^2]}\\ &=0,6165. \end{align*}\]
Teste de Scheffé - Comparação sem conhecimento a priori
O erro Tipo I é, no máximo, \(\alpha\) para qualquer uma das possíveis comparações.
Estatística de Teste
\[\begin{align*} F_{0j}&=\left(\frac{C_j-E(C_j)}{\sqrt{(a-1)\widehat{\text{var}}(C_j)}}\right)^2\\ &=\frac{(\sum_{i=1}^a c_i \overline{y}_{i\cdot})^2}{(a-1)\frac{QME}{n}\sum_{i=1}^a c_i^2}\sim F_{(\alpha,a-1,N-a)}. \end{align*}\]
Margem de erro do Teste
\[E_j=\sqrt{(a-1)F_{(\alpha,a-1,N-a)}\frac{QME}{n}\sum_{i=1}^a c_i^2}.\]
Se \(F_{0j}>F_{(\alpha,a-1,N-a)}\) ou \(|C_j|>E_j\) rejeita-se a hipótese \(H_0: \sum_{i=1}^a c_i\mu_i=0\).
Observação
Pode ser usado para construir intervalos de confiança simultâneos, \(C_j-E_j<\Gamma_j<C_j+E_j\), em que a confiança simultânea de todos os intervalos é, no mínimo, \(1-\alpha\).
Exemplo - Continuação
Posthoc multiple comparisons of means: Scheffe Test
95% family-wise confidence level
$Suplemento
diff lwr.ci upr.ci pval
B-A -11.5600000 -14.868364 -8.251636 2.0e-08 ***
M-A -11.1066667 -14.415031 -7.798302 3.8e-08 ***
S-A -11.7566667 -15.065031 -8.448302 1.5e-08 ***
M-B 0.4533333 -2.855031 3.761698 0.9811
S-B -0.1966667 -3.505031 3.111698 0.9984
S-M -0.6500000 -3.958364 2.658364 0.9475
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Teste de Bonferroni
Para um erro experimental de \(\alpha\), Bonferroni recomenda usar \(\alpha/g\) como nível de significância para cada teste.
Estatística de Teste
\[b_{cal}=\frac{|\overline{y}_{i}-\overline{y}_{j}|}{\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{j}}\right)}}\sim t_{\left(\frac{\alpha}{2g},N-a\right)}.\]
Rejeita-se \(H_0\), se \[|\overline{y}_{i}-\overline{y}_{j}|\geq t_{\left(\frac{\alpha}{2g},N-a\right)}\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_i}+\frac{1}{n_j}\right)}.\]
Observações
Adequado para comparações pré-planejadas, sendo pequeno o número de comparações planejadas.
Não é útil quando o número de comparações é grande.
Exemplo - Continuação
pair<-dados%>%
pairwise_t_test(Producao~Suplemento, pool.sd=FALSE, p.adjust.method="bonferroni")
pair# A tibble: 6 × 10
.y. group1 group2 n1 n2 statistic df p p.adj p.adj.signif
<chr> <chr> <chr> <int> <int> <dbl> <dbl> <dbl> <dbl> <chr>
1 Produc… A B 6 6 9.87 6.71 3.07e-5 1.84e-4 ***
2 Produc… A M 6 6 15.9 9.76 2.67e-8 1.6 e-7 ****
3 Produc… A S 6 6 12.3 7.71 2.38e-6 1.43e-5 ****
4 Produc… B M 6 6 -0.377 7.29 7.17e-1 1 e+0 ns
5 Produc… B S 6 6 0.144 9.41 8.89e-1 1 e+0 ns
6 Produc… M S 6 6 0.656 8.47 5.29e-1 1 e+0 ns Teste de Tukey
Estatística de Teste
\[q_{cal}=\frac{\overline{y}_{max}-\overline{y}_{min}}{\sqrt{\frac{QME}{2}\left(\frac{1}{n_{max}}+\frac{1}{n_{min}}\right)}}\sim q_{(a,N-a)}.\] Quando \(n_1=\cdots=n_a=n\) rejeita-se \(H_0\), se \[|\overline{y}_{i\cdot}-\overline{y}_{j\cdot}|\geq q_{(\alpha,a,N-a)}\sqrt{\frac{QME}{n}}.\]
Observação
- O nível de significância do teste é exatamente \(\alpha\) quando o número de réplicas é igual em todos os tratamentos, caso contrário é, no máximo, \(\alpha\).
Exemplo - Continuação
Tukey multiple comparisons of means
95% family-wise confidence level
Fit: aov(formula = Producao ~ Suplemento, data = dados)
$Suplemento
diff lwr upr p adj
B-A -11.5600000 -14.597229 -8.522771 0.0000000
M-A -11.1066667 -14.143896 -8.069438 0.0000000
S-A -11.7566667 -14.793896 -8.719438 0.0000000
M-B 0.4533333 -2.583896 3.490562 0.9747902
S-B -0.1966667 -3.233896 2.840562 0.9978139
S-M -0.6500000 -3.687229 2.387229 0.9311689Exemplo - Continuação
Teste de Dunnet - Comparação dos tratamentos com um controle
Estatística de Teste
\[d_{cal}=\frac{\overline{y}_{i\cdot}-\overline{y}_{c}}{\sqrt{QME\left(\frac{1}{n_{i}}+\frac{1}{n_{c}}\right)}}\sim d_{(a-1,N-a)}.\]
Quando \(n_1=\ldots=n_a=n\) rejeita-se \(H_0\), se
\[|\overline{y}_{i\cdot}-\overline{y}_{c}|\geq d_{(\alpha,a-1,N-a)}\sqrt{\frac{2\times QME}{n}}.\]
Exemplo - Continuação
Tamanho de Amostra
Limitações para o número de repetições
- Custos de implantação e execução do experimento
- Disponibilidade de material experimental
- Disponibilidade de recursos humanos
- Facilidade de avaliação
- Outras causas
Em geral, o número de repetições será determinado pelo fator com maior variação, ou então, pela variável mais importante para o pesquisador.
Método de Tukey
Este método precisa de alguma estimativa prévia da variabilidade da resposta.
Pode determinar-se a diferença mínima significativa (d) que se deseja encontrar entre os tratamentos do experimento.
O número de repetições é dado por: \[n=\frac{q^2\widehat{s}^2F_{(n_1,n_2;\alpha)}}{d^2},\]
onde
- \(q\): Amplitude total studentizada para o experimento.
- \(\widehat{s}:\) Estimativa da variabilidade.
- \(d:\) Diferença mínima estabelecida.
- \(n_1:\) g.l. do resíduo do novo experimento.
- \(n_2:\) g.l. do resíduo do experimento anterior.
Dado que \(q\) e \(F\) dependem do valor de \(n\), a solução é obtida por aproximações sucessivas, a partir de uma tentativa inicial.
Exemplo
Seja um experimento com 5 tratamentos. De experimentos anteriores, temos uma estimativa do desvio padrão dos resíduos dada por \(\widehat{s}^2=7,4Kg/\)parcela, por exemplo, com \(n_2=60\).
Deseja-se que o novo experimento detecte diferenças de produção de \(15Kg/\)parcela ou maiores. Um novo experimento está sendo planejado com um delineamento completamente aleatorizado.
Testando 5 tratamentos com 5 repetições, inicialmente temos 4 g.l. para tratamentos e 20 g.l. para o resíduo.
Considerando \(\alpha=0,05\) temos \(q=4,23\) e \(F_{(20,60;0,05)}=1,81\). Assim: \[n=\frac{(4,23)^2(7,4)^2(1,81)}{(15)^2}=8,3.\] Logo, o valor de \(n\) adequado é de aproximadamente 9 repetições.
Curvas Características de Operação
Definição
Uma curva característica de operação é um gráfico da probabilidade de erro tipo II de um teste estatístico para um tamanho amostral particular versus um parâmetro que varia no intervalo onde a hipótese nula é falsa.
Consideramos a probabilidade de erro tipo II do modelo de efeitos fixos para o caso de igual número de repetições em cada tratamento,
\[\begin{align*} \beta&=1-\text{P}[\text{Rejeitar H}_0|\text{H}_0 \text{ falsa}]\\ &=1-\text{P}[F_0>F_{(\alpha,a-1,N-a)}|\text{H}_0 \text{ falsa}] \end{align*}\]
Se \(H_0\) for falsa, \(F_0=\frac{QMTr}{QME}\sim F_{(\alpha,a-1,N-a;\delta)}\).
Podem ser usadas curvas características de operação que comparam a probabilidade do erro tipo II (\(\beta\)) com o parâmetro \(\Phi\), onde \[\Phi^2=\frac{n\sum_{i=1}^a \tau_i^2}{a\sigma^2}.\] A quantidade \(\Phi^2\) está relacionada com o parâmetro de não centralidade \(\delta\).
Exemplo
Exemplo
Assuma que cinco tratamentos são comparados em um experimento completamente aleatorizado com \(\alpha=0,01\). O experimentador quer saber quantas réplicas deve observar se interessa rejeitar \(H_0\) com probabilidade de, no mínimo, 0,90 se \(\sum_{i=1}^5 \tau_i^2/\sigma^2=5,0\).
Nesse caso, o parâmetro \(\Phi^2\) está dado por \[\Phi^2=\frac{n\sum_{i=1}^5 \tau_i^2}{a\sigma^2}=\frac{5,0n}{5}=n,\]
Exemplo
A curva característica de operação com \(\nu_1=a-1=4\) e \(\nu_2=a(n-1)=5(n-1)\) g.l. é:
Exemplo
Se \(n=4\), temos que \(\Phi^2=4\), ou seja, \(\Phi=2\) e \(\nu_2=5(3)=15\) graus de liberdade do erro. Consequentemente, \(\beta\simeq 0,38\). Isto é, o poder do teste é \(1-\beta=1-0,38=0,62\).
| \(n\) | \(\Phi^2\) | \(\Phi\) | \(a(n-1)\) | \(\beta\) | \(1-\beta\) |
|---|---|---|---|---|---|
| 4 | 4 | 2,00 | 15 | 0,38 | 0,62 |
| 5 | 5 | 2,24 | 20 | 0,18 | 0,82 |
| 6 | 6 | 2,45 | 25 | 0,06 | 0,94 |
Abordagens alternativas
- Selecionar um tamanho de amostra tal que, se a diferença entre quaisquer duas médias exceder um valor especificado \(D\) a hipótese nula deve ser rejeitada. Deste modo, pode-se provar que o valor mínimo de \(\Phi\) é dado por \[\Phi^2=\frac{nD^2}{2aQME}.\]
Abordagens alternativas
- Escolher o percentual \(P\) para o aumento do desvio padrão de uma observação além do qual desejamos rejeitar \(H_0\), ou seja \[\Phi=\sqrt{n[(1+0,01P)^2-1]}.\]
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