PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS I STA13827

class: center, middle, inverse, title-slide

# PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS I STA13827
## Delineamento em Quadrados Latinos
### Nátaly A. Jiménez Monroy
### LECON/DEST - UFES
### Vitória. ES - 14/02/2022

---

[//]: <> (https://pkg.garrickadenbuie.com/extra-awesome-xaringan/intro/index.html#1)
[//]: <> (https://pkg.garrickadenbuie.com/xaringanthemer/articles/xaringanthemer.html)
[//]: <> (https://www.biostatistics.dk/talks/CopenhagenRuseRs-2019/index.html#1)
[//]: <> (https://rstudio-education.github.io/sharing-short-notice/#1)
[//]: <> (https://www.kirenz.com/slides/xaringan-demo-slides.html#1)
[//]: <> (https://github.com/yihui/xaringan/issues/26)
[//]: <> (https://github.com/emitanaka/anicon)
[//]: <> (https://github.com/mitchelloharawild/icons)
[//]: <> (https://slides.yihui.org/2020-genentech-rmarkdown.html#1)
[//]: <> (https://github.com/gadenbuie/xaringanExtra)
[//]: <> (https://cran.r-project.org/package=latticeExtra#1)
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight)

class: animated, slideInRight

#Introdução - I

* Usado para controlar duas fontes de variabilidade. Os blocos são criados em duas direções, nesse caso, as linhas e as colunas da tabela representam as duas restrições na aleatorização.
  
  * Um **<span style="color:orange">Quadrado Latino `$p\times p$`</span>** é um quadrado que contém `$p$` linhas e `$p$` colunas. Cada uma das `$p^2$` entradas contém uma das `$p$` letras correspondentes aos tratamentos e cada letra ocorre uma vez em cada linha e coluna.
  
--

**Forma dos Quadrados Latinos `$4\times 4$` e `$5\times 5$`:** 
`$$\begin{array}{cccc}
         A & B & C & D \\
         B & C & D & A \\
         C & D & A & B \\
         D & A & B & C
        \end{array}\quad\quad\quad\quad \begin{array}{ccccc}
                        A & B & C & D & E \\
                        B & C & D & E & A \\
                        C & D & E & A & B \\
                        D & E & A & B & C \\
                        E & A & B & D & D
                     \end{array}$$`

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Introdução - II

###Exemplo 1 - I

Um engenheiro industrial está pesquisando o efeito de quatro métodos (A, B, C, D) no tempo de ensamblagem de uma componente para TVs. Ele selecionou quatro operadores para o estudo. Ainda, o engenheiro sabe que cada método produz um certo cansaço, de forma que o tempo requerido para a última ensamblagem pode ser maior que o tempo requerido para a primeira, independente do método usado. Para considerar essas duas fontes de variabilidade (operador, ordem de ensamblagem) ele decide usar um delineamento em quadrado latino.

| Ordem de ensamblagem |      | Operador  |        |       |
|:--------------------:|:----:|:---------:|:------:|:-----:|
|                      |  1   |   2       |    3   |   4   |
|     1                | C=10 |  D=14     |  A=7   |  B=8  |
|     2                | B=7  |  C=18     |  D=11  |  A=8  |
|     3	               | A=5  |  B=10     |  C=11  |  D=9  |
|     4                | D=10 |  A=10     |  B=12  |  C=14 |

>**Observação:** Primeiro se aleatoriza a ordem das linhas e depois se atribuem os tratamentos às colunas.
  
  
---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

###Exemplo 1 - II

<div id="htmlwidget-10e30946803aea2a268b" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div>
<script type="application/json" data-for="htmlwidget-10e30946803aea2a268b">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"extensions":["Buttons"],"data":[[1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4],[1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4],["C","D","A","B","B","C","D","A","A","B","C","D","D","A","B","C"],[10,14,7,8,7,18,11,8,5,10,11,9,10,10,12,14]],"container":"<table class=\"compact\">\n  <thead>\n    <tr>\n      <th>Ordem<\/th>\n      <th>Operador<\/th>\n      <th>Metodo<\/th>\n      <th>Tempo<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tBp","buttons":[{"extend":"csv","filename":"ensamblagem"},{"extend":"excel","filename":"ensamblagem"},{"extend":"pdf","filename":"ensamblagem"}],"pageLength":12,"columnDefs":[{"className":"dt-right","targets":[0,1,3]}],"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false,"lengthMenu":[10,12,25,50,100]}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script>

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

###Exemplo 1 - III

```r
library(reshape)

dados.ql<-transform(dados.ql, Ordem=factor(Ordem), Operador=factor(Operador), Metodo=factor(Metodo))

cast(dados.ql, Ordem~Operador, value="Metodo")
```

```
##   Ordem 1 2 3 4
## 1     1 C D A B
## 2     2 B C D A
## 3     3 A B C D
## 4     4 D A B C
```

```r
cast(dados.ql, Ordem~Operador, value="Tempo")
```

```
##   Ordem  1  2  3  4
## 1     1 10 14  7  8
## 2     2  7 18 11  8
## 3     3  5 10 11  9
## 4     4 10 10 12 14
```

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

###Exemplo 1 - IV

```r
levelplot(Tempo~Ordem+Operador,
          data=dados.ql, aspect="iso")+
    layer(with(dados.ql,
               panel.text(x=Operador, y=Ordem,
                          label=paste(Metodo, Tempo))))
```

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Modelo

<div class="math">
\[\begin{align*}
y_{ijk}=\mu+\alpha_i&+\tau_j+\beta_k+\epsilon_{ijk},\quad i=1,\ldots,p,\quad j=1,\ldots,p,\quad k=1,\ldots,p
\end{align*}\]
</div>

onde

* `$y_{ijk}$` é a observação na `$i-$`ésima linha e `$k-$`ésima coluna correspondente ao `$j-$`ésimo tratamento;

* `$\mu$` é a média global;

* `$\alpha_i$` é o efeito da `$i-$`ésima linha;

* `$\tau_j$` é o efeito do `$j-$`ésimo tratamento;

* `$\beta_k$` é o efeito da `$k-$`ésima coluna;

* `$\epsilon_{ijk}$` é o erro aleatório. Assume-se que `$\epsilon_{ijk}\sim N(0,\sigma^2)$`.

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#ANOVA

|Fonte de Variação  |      Gl      |             SQ                                                          |   QM  | `$F_0$`|
 |:-----------------:|:------:|:-----------------------------------------------------------------------:|:----------------------------------:|:----:| 
 | Tratamentos       | `$p-1$`  | `$SQTr=\frac{1}{p}\sum_{j=1}^p y_{\cdot j\cdot}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{p^2}$` | `$\frac{SQTr}{p-1}$`      | `$\frac{QMTr}{QME}$` |
 |  Linhas           | `$p-1$`  | `$SQL=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^p y_{i\cdot \cdot}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{p^2}$` | `$\frac{SQL}{p-1}$`        |                    |
|  Colunas           | `$p-1$`  | `$SQC=\frac{1}{p}\sum_{k=1}^p y_{\cdot\cdot k}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{p^2}$` | `$\frac{SQC}{p-1}$`        |                    |
  |  Erro            | `$(p-1)(p-2)$` | `$SQE=SQT-SQTr-SQL-SQC$` | `$\frac{SQE}{(p-1)(p-2)}$` |  `$\phantom{.}$` |
 |  Total            | `$p^2-1$`| `$SQT=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^p\sum_{k=1}^p y_{ijk}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{p^2}$`     |  `$\phantom{.}$` |        `$\phantom{.}$` |

---
### Exemplo 1 - V

**ANOVA**

```r
fit.ql <- aov(Tempo ~ Metodo + Ordem + Operador, data = dados.ql)
summary(fit.ql)
```

```
##             Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## Metodo       3   72.5  24.167  13.810 0.00421 **
## Ordem        3   18.5   6.167   3.524 0.08852 . 
## Operador     3   51.5  17.167   9.810 0.00993 **
## Residuals    6   10.5   1.750                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
```

---
### Exemplo 1 - VI

**Verificação do Modelo**

```r
par(mfrow=c(2,2)); plot(fit.ql, which=1:3)
```

---
### Exemplo 1 - VII

**Comparações Múltiplas - I**

```r
metodo.means <- lsmeans(fit.ql, "Metodo")
metodo.means
```

```
##  Metodo lsmean    SE df lower.CL upper.CL
##  A        7.50 0.661  6     5.88     9.12
##  B        9.25 0.661  6     7.63    10.87
##  C       13.25 0.661  6    11.63    14.87
##  D       11.00 0.661  6     9.38    12.62
## 
## Results are averaged over the levels of: Ordem, Operador 
## Confidence level used: 0.95
```

---
### Exemplo 1 - VIII

**Comparações Múltiplas - II**

```r
metodo.comp <- summary(glht(fit.ql, linfct=mcp(Metodo="Tukey")), test=adjusted(type="fdr"));metodo.comp
```

```
## 
## 	 Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses
## 
## Multiple Comparisons of Means: Tukey Contrasts
## 
## 
## Fit: aov(formula = Tempo ~ Metodo + Ordem + Operador, data = dados.ql)
## 
## Linear Hypotheses:
##            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## B - A == 0   1.7500     0.9354   1.871   0.1106   
## C - A == 0   5.7500     0.9354   6.147   0.0051 **
## D - A == 0   3.5000     0.9354   3.742   0.0192 * 
## C - B == 0   4.0000     0.9354   4.276   0.0157 * 
## D - B == 0   1.7500     0.9354   1.871   0.1106   
## D - C == 0  -2.2500     0.9354  -2.405   0.0794 . 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## (Adjusted p values reported -- fdr method)
```

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Repetição do Quadrado Latino

Os Quadrados Latinos fornecem um número relativamente baixo de graus de liberdade para o resíduo. Por exemplo, quadrado latino `$3\times 3$` tem somente 2 graus de liberdade no resíduo, o quadrado latino `$4\times 4$` tem apenas 6 graus de liberdade e assim por diante.

**Formas de repetição**

* **Caso 1**: Usar os mesmos níveis (em linhas e colunas) em cada repetição.
 
 * **Caso 2**: Usar os mesmos níveis nas linhas, mas diferentes nas colunas em cada repetição (ou usar os mesmos níveis nas colunas e diferentes níveis nas linhas).

* **Caso 3**: Usar níveis diferentes em linhas e colunas.
 
 
---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#ANOVA - Caso 1
 
Seja `$y_{ijkl}$` a observação da `$i-$`ésima linha, `$j-$`ésimo tratamento, `$k-$`ésima coluna e `$l-$`ésima repetição. Há `$N = np^2$` observações no total.

|Fonte de Variação  |      Gl      |             SQ                                                          |   QM  | `$F_0$`|
 |:-----------------:|:------:|:-----------------------------------------------------------------------:|:----------------------------------:|:----:| 
 | Tratamentos       | `$p-1$`  | `$SQTr=\frac{1}{np}\sum_{j=1}^p y_{\cdot j\cdot\cdot}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{np^2}$` | `$\frac{SQTr}{p-1}$`      | `$\frac{QMTr}{QME}$` |
 |  Linhas           | `$p-1$`  | `$SQL=\frac{1}{np}\sum_{i=1}^p y_{i\cdot\cdot\cdot}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{np^2}$` | `$\frac{SQL}{p-1}$`        |                    |
|  Colunas           | `$p-1$`  | `$SQC=\frac{1}{np}\sum_{k=1}^p y_{\cdot\cdot k\cdot}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{np^2}$` | `$\frac{SQC}{p-1}$`        |                    |
|  Quadrado Latino   | `$n-1$`  | `$SQQL=\frac{1}{p^2}\sum_{l=1}^n y_{\cdot\cdot\cdot l}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{np^2}$` | `$\frac{SQQL}{n-1}$`        |                    |
  |  Erro            | `$(p-1)[n(p+1)-3]$` | `$SQE=SQT-SQTr-SQL-SQC-SQQL$` | `$\frac{SQE}{(p-1)[n(p+1)-3]}$` |  `$\phantom{.}$` |
 |  Total            | `$np^2-1$`| `$SQT=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^p\sum_{k=1}^p\sum_{l=1}^n y_{ijkl}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{np^2}$`     |  `$\phantom{.}$` |        `$\phantom{.}$` |

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#ANOVA - Caso 2

|Fonte de Variação  |      Gl      |             SQ                                                          |   QM  | `$F_0$`|
 |:-----------------:|:------:|:-----------------------------------------------------------------------:|:----------------------------------:|:----:| 
 | Tratamentos       | `$p-1$`  | `$SQTr=\frac{1}{np}\sum_{j=1}^p y_{\cdot j\cdot\cdot}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{np^2}$` | `$\frac{SQTr}{p-1}$`      | `$\frac{QMTr}{QME}$` |
 |  Linhas           | `$n(p-1)$`  | `$SQL=\frac{1}{p}\sum_{l=1}^n\sum_{i=1}^p y_{i\cdot\cdot l}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{p^2}$` | `$\frac{SQL}{n(p-1)}$`        |                    |
|  Colunas           | `$p-1$`  | `$SQC=\frac{1}{np}\sum_{k=1}^p y_{\cdot\cdot k\cdot}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{np^2}$` | `$\frac{SQC}{p-1}$`        |                    |
|  Quadrado Latino   | `$n-1$`  | `$SQQL=\frac{1}{p^2}\sum_{l=1}^n y_{\cdot\cdot\cdot l}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{np^2}$` | `$\frac{SQQL}{n-1}$`        |                    |
  |  Erro            | `$(p-1)(np-2)$` | `$SQE=SQT-SQTr-SQL-SQC-SQQL$` | `$\frac{SQE}{(p-1)(np-2)}$` |  `$\phantom{.}$` |
 |  Total            | `$np^2-1$`| `$SQT=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^p\sum_{k=1}^p\sum_{l=1}^n y_{ijkl}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{np^2}$`     |  `$\phantom{.}$` |        `$\phantom{.}$` |

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#ANOVA - Caso 3

|Fonte de Variação  |      Gl      |             SQ                                                          |   QM  | `$F_0$`|
 |:-----------------:|:------:|:-----------------------------------------------------------------------:|:----------------------------------:|:----:| 
 | Tratamentos       | `$p-1$`  | `$SQTr=\frac{1}{np}\sum_{j=1}^p y_{\cdot j\cdot\cdot}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{np^2}$` | `$\frac{SQTr}{p-1}$`      | `$\frac{QMTr}{QME}$` |
 |  Linhas           | `$n(p-1)$`  | `$SQL=\frac{1}{p}\sum_{l=1}^n\sum_{i=1}^p y_{i\cdot\cdot l}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{p^2}$` | `$\frac{SQL}{n(p-1)}$`        |                    |
|  Colunas           | `$n(p-1)$`  | `$SQC=\frac{1}{p}\sum_{l=1}^n\sum_{k=1}^p y_{\cdot\cdot kl}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{p^2}$` | `$\frac{SQC}{n(p-1)}$`        |                    |
|  Quadrado Latino   | `$n-1$`  | `$SQQL=\frac{1}{p^2}\sum_{l=1}^n y_{\cdot\cdot\cdot l}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{np^2}$` | `$\frac{SQQL}{n-1}$`        |                    |
  |  Erro            | `$(p-1)[n(p-1)-1]$` | `$SQE=SQT-SQTr-SQL-SQC-SQQL$` | `$\frac{SQE}{(p-1)[n(p-1)-1]}$` |  `$\phantom{.}$` |
 |  Total            | `$np^2-1$`| `$SQT=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^p\sum_{k=1}^p\sum_{l=1}^n y_{ijkl}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{np^2}$`     |  `$\phantom{.}$` |        `$\phantom{.}$` |

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Exemplo - I

Consideremos o experimento cujo objetivo foi estudar o efeito da idade de castração no desenvolvimento e produção de suínos, avaliando-se o peso dos leitões. Quatro tratamentos foram estudados:

* A. Castração aos 56 dias de idade;
 
 * B. Inteiros (não castrados);
 
 * C. Castração aos 7 dias de idade;
 
 * D. Castração aos 21 dia de idade.

Duas causas de variação que podem afetar o peso final dos animais são: número de leitões de cada cria (leitegada) e o peso inicial de cada animal. Essas duas causas de variação podem ser controladas usando Quadrados Latinos, sendo que a variação entre leitegadas foi controlada pelas linhas do quadrado e a variação dos pesos dos leitões dentro das leitegadas foi isolada pelas colunas.

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Exemplo - II

**Ganhos de pesos de suínos, em quilos, ao final do experimento (252) dias**

| Leitegada  |          | Pesos Iniciais  |        |          |
|:----------:|:--------:|:---------------:|:------:|:--------:|
|            | 1        |       2         | 3      |   4      |
|     1      | A=93,0   | B=108,6         | C=108,9| D=102,0  |
|     2      | B=115,4  | D=96,5          | A=77,9 | C=100,2  |
|     3      | C=102,1  | A=94,9          | D=116,9| B=96,0   |
|     4      | D=117,6  | C=114,1         | B=118,9| A=97,6   |

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Exemplo - III

**Ganhos de pesos de suínos, em quilos, ao final do segundo experimento (252) dias**

| Leitegada  |          | Pesos Iniciais  |        |          |
|:----------:|:--------:|:---------------:|:------:|:--------:|
|            | 1        |       2         | 3      |   4      |
|     5      | A=125,2  | B=109,4         | C=116,4| D=114,5  |
|     6      | B=120,7  | D=106,8         | A=95,4 | C=102,9  |
|     7      | C=117,6  | A=112,4         | D=112,3| B=110,4  |
|     8      | D=135,8  | C=126,3         | B=133,3| A=101,8  |

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Exemplo - IV

<div id="htmlwidget-a3da82d226e3d0788286" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div>
<script type="application/json" data-for="htmlwidget-a3da82d226e3d0788286">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"extensions":["Buttons"],"data":[[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2],[1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,6,6,6,6,7,7,7,7,8,8,8,8],[1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4],["A","B","C","D","B","D","A","C","C","A","D","B","D","C","B","A","A","B","C","D","B","D","A","C","C","A","D","B","D","C","B","A"],[93,108.6,108.9,102,115.4,96.5,77.9,100.2,102.1,94.9,116.9,96,117.6,114.1,118.9,97.6,125.2,109.4,116.4,114.5,120.7,106.8,95.4,102.9,117.6,112.4,112.3,110.4,135.8,126.3,133.3,101.8]],"container":"<table class=\"compact\">\n  <thead>\n    <tr>\n      <th>Rep<\/th>\n      <th>Leitegada<\/th>\n      <th>Peso_ini<\/th>\n      <th>Castracao<\/th>\n      <th>Peso<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tBp","buttons":[{"extend":"csv","filename":"suinos"},{"extend":"excel","filename":"suinos"},{"extend":"pdf","filename":"suinos"}],"pageLength":12,"columnDefs":[{"className":"dt-right","targets":[0,1,2,4]}],"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false,"lengthMenu":[10,12,25,50,100]}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script>

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

###Exemplo - V

```r
dados.qlrep1<-transform(dados.qlrep[1:16,],Leitegada=factor(Leitegada),Peso_ini=factor(Peso_ini),Castracao=factor(Castracao),Rep=factor(Rep))
dados.qlrep2<-transform(dados.qlrep[17:32,],Leitegada=factor(Leitegada),Peso_ini=factor(Peso_ini),Castracao=factor(Castracao),Rep=factor(Rep))

cbind(cast(dados.qlrep1, Leitegada~Peso_ini, value="Castracao"), cast(dados.qlrep2, Leitegada~Peso_ini, value="Castracao"))
```

```
##   Leitegada 1 2 3 4 Leitegada 1 2 3 4
## 1         1 A B C D         5 A B C D
## 2         2 B D A C         6 B D A C
## 3         3 C A D B         7 C A D B
## 4         4 D C B A         8 D C B A
```

```r
cbind(cast(dados.qlrep1, Leitegada~Peso_ini, value="Peso"), cast(dados.qlrep2, Leitegada~Peso_ini, value="Peso"))
```

```
##   Leitegada     1     2     3     4 Leitegada     1     2     3     4
## 1         1  93.0 108.6 108.9 102.0         5 125.2 109.4 116.4 114.5
## 2         2 115.4  96.5  77.9 100.2         6 120.7 106.8  95.4 102.9
## 3         3 102.1  94.9 116.9  96.0         7 117.6 112.4 112.3 110.4
## 4         4 117.6 114.1 118.9  97.6         8 135.8 126.3 133.3 101.8
```

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

###Exemplo - VI
 **Réplica 1**
 
<img src="Experimentos_em_Quadrado_Latino_files/figure-html/unnamed-chunk-10-1.png" width="45%" style="display: block; margin: auto;" />

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

###Exemplo - VII
 **Réplica 2**
 
<img src="Experimentos_em_Quadrado_Latino_files/figure-html/unnamed-chunk-11-1.png" width="45%" style="display: block; margin: auto;" />

---
### Exemplo - VIII

**ANOVA**

```r
fit.qlrep <- aov(Peso ~ Castracao + Leitegada + Peso_ini + Rep*Leitegada, data = dados.qlrep)
summary(fit.qlrep)
```

```
##               Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## Castracao      3 1031.5   343.8   4.499 0.012171 *  
## Leitegada      1 1404.2  1404.2  18.373 0.000255 ***
## Peso_ini       1  543.9   543.9   7.117 0.013466 *  
## Rep            1    2.6     2.6   0.034 0.855931    
## Leitegada:Rep  1    0.2     0.2   0.002 0.964310    
## Residuals     24 1834.3    76.4                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
```

---
### Exemplo - IX

**Verificação do Modelo**

```r
par(mfrow=c(2,2)); plot(fit.qlrep, which=1:3)
```

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Observações Faltantes

Estima-se a observação faltante como:
`$$y_{ijk}=\frac{p(y_{i\cdot\cdot}'+y_{\cdot j\cdot}'-y_{\cdot\cdot k}')-2y_{\cdot\cdot\cdot}'}{(p-2)(p-1)}$$`
onde `$y_{i\cdot\cdot}'$` indica o total para a linha com a observação faltante, `$y_{\cdot j\cdot}'$` é o total para a coluna com a observação faltante, `$y_{\cdot\cdot k}'$` é o total para o tratamento com a observação faltante e `$y_{\cdot\cdot\cdot}'$` representa o total geral com a observação faltante.

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Eficiência Relativa

* Eficiência relativa do Delineamento em Quadrado Latino (DQL), com respeito ao Delineamento em Blocos (DB), com as linhas omitidas e as colunas sendo os blocos:
`$$\widehat{R}_{DQL,DB_{Col}}=\frac{QML+(p-1)QME}{p\times QME}.$$`
 * Eficiência relativa estimada do DQL com respeito ao DB, com as colunas omitidas e as linhas sendo os blocos:
`$$\widehat{R}_{DQL,DB_{Lin}}=\frac{QMC+(p-1)QME}{p\times QME}.$$`
 * Eficiência relativa estimada do DQL com respeito ao DCA:
`$$\widehat{R}_{DQL,DCA}=\frac{QML+QMC+(p-1)QME}{(p+1)\times QME}.$$`
---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Exemplo 1 - IX

* Se o operador tivesse sido usado como bloco:
 
`$$\widehat{R}_{DQL,DB_{operador}}=\frac{6,167+3\times 1,75}{4\times 1,75}=1,63.$$`
* Se a ordem tivesse sido usado como bloco:
 
`$$\widehat{R}_{DQL,DB_{ordem}}=\frac{17,767+3\times 1,75}{4\times 1,75}=3,29.$$`
 * Se um DCA tivesse sido usado:
 
`$$\widehat{R}_{DQL,DCA}=\frac{6,167+17,767+3\times 1,75}{5\times 1,75}=3,33.$$`

> Em todos os casos precisariamos de mais observações para obter a mesma sensibilidade do DQL. Se apenas tiver sido considerado o controle local "ordem de ensamblagem", teriam sido necessárias aproximadamente 3 vezes mais observações para obter a mesma sensibilidade do QL. Essa opção se mostrou tão ineficiente quanto o DCA.

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Delineamento em Quadrado Greco-Latino

* Usado quando contamos com três variáveis para controle da variabilidade.
 
 * Usam-se letras gregas para representar o controle na terceira direção.
 
 * Cada tratamento aparece apenas uma vez em cada linha, em cada coluna e com cada letra grega.
 
 * Há quadrados greco-latinos para qualquer `$p\geq 3$`, com exceção de `$p=6$`.
 
 * Um delineamento greco latino são dois delineamentos de quadrado latino ortogonais sobrepostos.
 
 
 --
 
 > Dois quadrados latinos de tamanho `$p$` são ditos **<span style="color:orange">ortogonais</span>** se cada par ordenado de símbolos ocorre exatamente uma vez entre os `$p^2$` pares possíveis.

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Exemplo

**Quadrado greco-latino para `$p=4$`**

| Linhas |           |    Colunas   |             |             |
|:------:|:---------:|:------------:|:-----------:|:-----------:|
|        |  1        |   2          |       3     |      4      |
|     1  | A `$\beta$` |  B `$\alpha$`  |  C `$\delta$` |  D `$\gamma$` |
|     2  | B `$\alpha$`|  C `$\beta$`   |  D `$\gamma$` |  A `$\delta$` |
|     3	 | C `$\gamma$`|  D `$\delta$`  |  A `$\alpha$` |  B `$\beta$`  |
|     4  | D `$\delta$`|  A `$\gamma$`  |  B `$\beta$`  |  C `$\alpha$` |

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Modelo

`$$y_{ijkl}=\mu+\theta_i+\tau_j+\omega_k+\Psi_l+\epsilon_{ijkl}, i=1,\ldots,p, j=1,\ldots,p, k=1,\ldots, p, l=1,\ldots,p.$$`
--

onde

* `$y_{ijkl}$` é a observação na `$i-$`ésima linha e `$l-$`ésima coluna correspondente ao `$j-$`ésimo tratamento (letra Latina) e `$k-$`ésima letra grega;

* `$\mu$` é a média global;

* `$\theta_i$` é o efeito da `$i-$`ésima linha;

* `$\tau_j$` é o efeito do `$j-$`ésimo Tratamento (letra Latina);

* `$\omega_k$` é o efeito da `$k-$`ésima letra grega;

* `$\Psi_l$` é o efeito da `$l-$`ésima coluna;

* `$\epsilon_{ijkl}$` é o erro aleatório. Assume-se que `$\epsilon_{ijkl}\sim N(0,\sigma^2)$`.

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Anova

|Fonte de Variação  |      Gl      |             SQ                                                          |   QM  | `$F_0$`|
 |:-----------------:|:------:|:-----------------------------------------------------------------------:|:--------------------------------:|:----:| 
 | Tratamentos       | `$p-1$`  | `$SQTr=\frac{1}{p}\sum_{j=1}^p y_{\cdot j\cdot\cdot}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{N}$` | `$\frac{SQTr}{p-1}$`      | `$\frac{QMTr}{QME}$` |
|  Letras Gregas     | `$p-1$`  | `$SQG=\frac{1}{p}\sum_{k=1}^p y_{\cdot\cdot k\cdot}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{N}$` | `$\frac{SQG}{p-1}$`        |                    |
|     Linhas         | `$p-1$`  | `$SQL=\frac{1}{p}\sum_{i=1}^p y_{i\cdot\cdot\cdot}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{N}$` | `$\frac{SQL}{p-1}$`        |                    |
|  Colunas           | `$p-1$`  | `$SQC=\frac{1}{p}\sum_{l=1}^n y_{\cdot\cdot\cdot l}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{N}$` | `$\frac{SQC}{p-1}$`        |                    |
|  Erro              | `$(p-3)(p-1)$` | `$SQE=SQT-SQTr-SQG-SQL-SQC$` | `$\frac{SQE}{(p-3)(p-1)}$` |  `$\phantom{.}$` |
|  Total             | `$p^2-1$`| `$SQT=\sum_{i=1}^p\sum_{j=1}^p\sum_{k=1}^p\sum_{l=1}^p y_{ijkl}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot\cdot}^2}{p^2}$`     |  `$\phantom{.}$` |        `$\phantom{.}$` |

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Exemplo - I

Um fabricante de certo alimento quer determinar a influência do design das suas caixas nas vendas do produto. Ele tem cinco designs para testar: A, B, C, D e E. Entre as fontes de variação ele sabe que estão: dia da semana, diferenças nas vendas de diferentes lojas e o efeito da altura das prateleiras. Decide-se realizar o experimento usando um delineamento em quadrado greco-latino onde:

* Linhas: cinco dias úteis da semana.

* Colunas: cinco lojas diferentes.

* Letras Gregas: cinco alturas de prateleiras.

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Exemplo - II

As vendas (em dólares) do alimento testado foram

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Exemplo - III

<div id="htmlwidget-5051f939379a6d7d9127" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div>
<script type="application/json" data-for="htmlwidget-5051f939379a6d7d9127">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"extensions":["Buttons"],"data":[[2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,6,6,6,6],[1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5],["E","C","B","D","A","D","B","A","C","E","B","E","D","A","C","C","A","E","B","D","A","D","C","E","B"],["alpha","delta","gamma","epsilon","beta","delta","beta","alpha","gamma","epsilon","epsilon","gamma","beta","delta","alpha","beta","epsilon","delta","alpha","gamma","gamma","alpha","epsilon","beta","delta"],[238,228,158,188,74,149,220,92,169,282,222,295,104,54,213,187,66,242,122,90,65,118,279,278,176]],"container":"<table class=\"compact\">\n  <thead>\n    <tr>\n      <th>Dia<\/th>\n      <th>Loja<\/th>\n      <th>Design<\/th>\n      <th>Altura_prat<\/th>\n      <th>Vendas<\/th>\n    <\/tr>\n  <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tBp","buttons":[{"extend":"csv","filename":"design"},{"extend":"excel","filename":"design"},{"extend":"pdf","filename":"design"}],"pageLength":12,"columnDefs":[{"className":"dt-right","targets":[0,1,4]}],"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false,"lengthMenu":[10,12,25,50,100]}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script>

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Exemplo - IV

ANOVA

|Fonte de Variação | Gl |  SQ       |    QM    | `$F_0$`|
|:-----------------|:--:|----------:|---------:|-----:| 
| Tratamentos      | 4  | 115462,16 | 28865,54 | 31,21|
|  Letras Gregas   | 4  | 8852,16   | 2213,04  | 2,39 |
|     Linhas       | 4  | 6138,56   | 1534,64  | 1,66 |
|  Colunas         | 4  | 1544,96   | 386,24   | 0,42 |
|  Erro            | 8  | 7397,92   | 924,74   |  `$\phantom{.}$` |
|  Total           | 24 | 139395,76 | `$\phantom{.}$` | `$\phantom{.}$` |

---
# Exemplo - V

**ANOVA**

```r
dados.qgl<-transform(dados.qgl,Dia=factor(Dia),Loja=factor(Loja),Design=factor(Design),Altura_prat=factor(Altura_prat))

fit.qgl <- aov(Vendas ~ Dia + Loja + Design + Altura_prat, data = dados.qgl)
summary(fit.qgl)
```

```
##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## Dia          4   6139    1535   1.660    0.251    
## Loja         4   1545     386   0.418    0.792    
## Design       4 115462   28866  31.215 6.26e-05 ***
## Altura_prat  4   8852    2213   2.393    0.137    
## Residuals    8   7398     925                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
```

---
# Exemplo - VI

**Verificação do Modelo**

```r
par(mfrow=c(2,2)); plot(fit.qgl, which=1:3)
```

---
# Exemplo - VII

**Comparações Múltiplas - I**

```r
design.means <- lsmeans(fit.qgl, "Design")
design.means
```

```
##  Design lsmean   SE df lower.CL upper.CL
##  A        70.2 13.6  8     38.8      102
##  B       179.6 13.6  8    148.2      211
##  C       215.2 13.6  8    183.8      247
##  D       129.8 13.6  8     98.4      161
##  E       267.0 13.6  8    235.6      298
## 
## Results are averaged over the levels of: Dia, Loja, Altura_prat 
## Confidence level used: 0.95
```

---
#Exemplo - VIII

**Comparações Múltiplas - II**

```
## 
## 	 Simultaneous Tests for General Linear Hypotheses
## 
## Multiple Comparisons of Means: Tukey Contrasts
## 
## 
## Fit: aov(formula = Vendas ~ Dia + Loja + Design + Altura_prat, data = dados.qgl)
## 
## Linear Hypotheses:
##            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## B - A == 0   109.40      19.23   5.688 0.001151 ** 
## C - A == 0   145.00      19.23   7.539 0.000329 ***
## D - A == 0    59.60      19.23   3.099 0.020986 *  
## E - A == 0   196.80      19.23  10.233 7.15e-05 ***
## C - B == 0    35.60      19.23   1.851 0.101319    
## D - B == 0   -49.80      19.23  -2.589 0.035718 *  
## E - B == 0    87.40      19.23   4.544 0.003612 ** 
## D - C == 0   -85.40      19.23  -4.440 0.003612 ** 
## E - C == 0    51.80      19.23   2.693 0.034194 *  
## E - D == 0   137.20      19.23   7.134 0.000329 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## (Adjusted p values reported -- fdr method)
```

---
[//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft)
class: animated, fadeIn

#Hiperquadrados

Um Hiperquadrado `$p\times p$` é um delineamento no qual três ou mais quadrados Latinos ortogonais `$p\times p$` são superpostos.

Para um conjunto completo de `$p−1$` quadrados Latinos, podem ser estudados até `$p+1$` fatores. Esse delineamento utilizaria todos os `$p^2−1$` graus de liberdade, tornando necessária uma estimativa independente da variância do erro.

---
class: animated, hide-logo, bounceInDown
## Política de proteção aos direitos autorais

> <span style="color:grey">O conteúdo disponível consiste em material protegido pela legislação brasileira, sendo certo que, por ser
o detentor dos direitos sobre o conteúdo disponível na plataforma, o **LECON** e o **NEAEST** detém direito
exclusivo de usar, fruir e dispor de sua obra, conforme Artigo 5<sup>o</sup>, inciso XXVII, da Constituição Federal
e os Artigos 7<sup>o</sup> e 28<sup>o</sup>, da Lei 9.610/98.
A divulgação e/ou veiculação do conteúdo em sites diferentes à plataforma e sem a devida autorização do
**LECON** e o **NEAEST**, pode configurar violação de direito autoral, nos termos da Lei 9.610/98, inclusive podendo
caracterizar conduta criminosa, conforme Artigo 184<sup>o</sup>, §1<sup>o</sup> a 3<sup>o</sup>, do Código Penal.
É considerada como contrafação a reprodução não autorizada, integral ou parcial, de todo e qualquer
conteúdo disponível na plataforma.</span>

.pull-left[
<img src="images/logo_lecon.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" />
]
.pull-right[
<img src="images/logo_neaest.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" />
]
<br></br>
.center[
[https://lecon.ufes.br](https://lecon.ufes.br/) &emsp; &emsp;  &emsp; &emsp; [https://analytics.ufes.br](https://analytics.ufes.br)
]

<font size="2"><span style="color:grey">Material elaborado pela equipe LECON/NEAEST: 
Alessandro J. Q. Sarnaglia, Bartolomeu Zamprogno, Fabio A. Fajardo, Luciana G. de Godoi 
e Nátaly A. Jiménez.</span></font>