class: center, middle, inverse, title-slide # PLANEJAMENTO DE EXPERIMENTOS I STA13827 ## Delineamentos Fatoriais ### Nátaly A. Jiménez Monroy ### LECON/DEST - UFES ### Vitória. ES - 10/03/2022 --- [//]: <> (https://pkg.garrickadenbuie.com/extra-awesome-xaringan/intro/index.html#1) [//]: <> (https://pkg.garrickadenbuie.com/xaringanthemer/articles/xaringanthemer.html) [//]: <> (https://www.biostatistics.dk/talks/CopenhagenRuseRs-2019/index.html#1) [//]: <> (https://rstudio-education.github.io/sharing-short-notice/#1) [//]: <> (https://www.kirenz.com/slides/xaringan-demo-slides.html#1) [//]: <> (https://github.com/yihui/xaringan/issues/26) [//]: <> (https://github.com/emitanaka/anicon) [//]: <> (https://github.com/mitchelloharawild/icons) [//]: <> (https://slides.yihui.org/2020-genentech-rmarkdown.html#1) [//]: <> (https://github.com/gadenbuie/xaringanExtra) [//]: <> (https://cran.r-project.org/package=latticeExtra#1) [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight) class: animated, slideInRight <style> body {text-align: justify} </style> <!-- Justify text. --> #Introdução - I * Usados quando se deseja analisar a influência de dois ou mais fatores e suas possíveis interações. * A classe mais simples de um experimento fatorial é a `\(2\times 2\)`, em que temos dois fatores e dois níveis. * De modo geral têm-se os experimentos fatoriais `\(p_1\times p_2\times \cdots \times p_q\)` em que `\(q\)` é o número de fatores e `\(p_i\)` é o número de níveis do `\(i−ésimo\)` fator `\((i=1,...,q)\)`. * Quando o número de níveis é igual para todos os fatores, isto é, `\(p_1=p_2=···=p_q=p\)`, têm-se os chamados experimentos fatoriais `\(p^q\)`. --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Introdução - II ###Exemplo - I Duas variedades (A) de cana-de-açúcar podem ser combinadas com dois diferentes herbicidas (B). Os níveis para variedades são dados por `\(A_1\)` e `\(A_2\)` e os níveis de herbicida dados por `\(B_1\)` e `\(B_2\)`, de forma que as combinações desses níveis geram os seguintes tratamentos: `\(A_1B_1\)`, `\(A_1B_2\)`, `\(A_2B_1\)` e `\(A_2B_2\)`.Os dados referentes à produção de uma cultura são | Variedade (A) | Herbicida (B) | | |:--------------------:|:--------------:|:---------:| | | `\(B_1\)` | `\(B_2\)` | | `\(A_1\)` | 20 | 30 | | `\(A_2\)` | 40 | 52 | --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Introdução - III ###Exemplo - II **Efeito principal de um fator** Mudança na resposta produzida por uma mudança no nível do fator. >**Efeito do fator A**: Diferença entre a resposta média no nível "inferior" de A e a resposta média no nível "superior" de A. `$$A=\frac{40+52}{2}-\frac{20+30}{2}=21.$$` >**Efeito do fator B**: Diferença entre a resposta média no nível "inferior" de B e a resposta média no nível "superior" de B. `$$B=\frac{30+52}{2}-\frac{20+40}{2}=11.$$` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Introdução - IV ###Exemplo - III **Exemplo Montgomery `\(6^a\)` Ed., pg. 161.** <img src="images/Exemplo_Fatorial.png" width="70%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Experimentos Fatoriais sem e com interação <img src="images/Interacao.jpg" width="70%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Arranjo Geral para um Experimento Fatorial | Fator A | Fator B | Total | Média | |:--------------------:|:---------------------------------------------:|:---------------:|:---------------------:| | | `\(\phantom{*****}1\phantom{****}\quad \phantom{****}2\phantom{****}\quad \cdots\phantom{****} \quad b\phantom{****}\)` | | | | 1 | `\(y_{111},\cdots,y_{11n}\quad y_{121},\cdots,y_{12n}\quad \cdots\quad y_{1b1},\cdots,y_{1bn}\)` | `\(y_{1\cdot\cdot}\)` | `\(\bar{y}_{1\cdot\cdot}\)`| | 2 | `\(y_{211},\cdots,y_{21n}\quad y_{221},\cdots,y_{22n}\quad \cdots\quad y_{2b1},\cdots,y_{2bn}\)` | `\(y_{2\cdot\cdot}\)` | `\(\bar{y}_{2\cdot\cdot}\)`| | `\(\vdots\)` | `\(\vdots\qquad \vdots\qquad \cdots\qquad \vdots\)`| `\(\vdots\)` | `\(\vdots\)`| | `\(a\)` | `\(y_{a11},\cdots,y_{a1n}\quad y_{a21},\cdots,y_{a2n}\quad \cdots\quad y_{ab1},\cdots,y_{abn}\)` | `\(y_{a\cdot\cdot}\)` | `\(\bar{y}_{a\cdot\cdot}\)`| | Total | `\(\phantom{*****}y_{\cdot1\cdot}\phantom{****}\quad \phantom{****}y_{\cdot2\cdot}\phantom{****}\quad \cdots\quad \phantom{****}y_{\cdot b\cdot}\phantom{****}\)` | `\(y_{\cdot\cdot\cdot}\)`| | | Média | `\(\phantom{*****}\bar{y}_{\cdot 1\cdot}\phantom{****}\quad \phantom{****}\bar{y}_{\cdot 2\cdot}\phantom{****}\quad \cdots\quad \phantom{****}\bar{y}_{\cdot b\cdot}\phantom{****}\)` | | `\(\bar{y}_{\cdot\cdot\cdot}\)`| --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Modelo - I `$$y_{ijk}=\mu+\tau_i+\beta_j+(\tau\beta)_{ij}+\epsilon_{ijk},\quad \left\{ \begin{array}{ll} i=1,\ldots,a \\ j=1,\ldots,b \\ k=1,\ldots,n. \end{array} \right.$$` -- onde * `\(y_{ijk}\)` é a resposta no `\(i-ésimo\)` nível do fator A, `\(j-ésimo\)` nível do fator B e `\(k-ésima\)` repetição; * `\(\tau_i\)` é o efeito do `\(i-ésimo\)` nível do fator A; * `\(\beta_j\)` é o efeito do `\(j-ésimo\)` nível do fator B; * `\((\tau\beta)_{ij}\)` é o efeito da interação do `\(i-ésimo\)` nível do fator A e o `\(j-ésimo\)` nível do fator B; * `\(\epsilon_{ijk}\)` é o erro experimental associado ao `\(i-ésimo\)` nível do fator A, `\(j-ésimo\)` nível do fator B e `\(k-ésima\)` repetição. Assume-se que `\(\epsilon_{ijk}\sim N(0,\sigma^2)\)`. --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Modelo - II **Observações:** * Assume-se que ambos os fatores são fixos. * Os efeitos dos tratamentos são assumidos como desvios da média global, logo `$$\sum_{i=1}^a \tau_i=0 \text{ e } \sum_{j=1}^b \beta_j=0.$$` * Os efeitos de interação são assumidos fixos de forma que `$$\sum_{i=1}^a (\tau\beta)_{ij}=\sum_{j=1}^b (\tau\beta)_{ij}=0.$$` * Há `\(abn\)` observações em total. --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Hipóteses de interesse * Ausência de efeito do fator A <div class="math"> \[\begin{align*} \text{H}_0:& \tau_1=\tau_2=\cdots=\tau_a=0\\ \text{H}_1:& \text{ pelo menos um } \tau_i\neq 0. \end{align*}\] </div> * Ausência de efeito do fator B <div class="math"> \[\begin{align*} \text{H}_0:& \beta_1=\beta_2=\cdots=\beta_b=0\\ \text{H}_1:& \text{ pelo menos um } \beta_j\neq 0. \end{align*}\] </div> * Ausência de interação <div class="math"> \[\begin{align*} \text{H}_0:& (\tau\beta)_{11}=(\tau\beta)_{12}=\cdots=(\tau\beta)_{ab}=0\\ \text{H}_1:& \text{ pelo menos um } (\tau\beta)_{ij}\neq 0. \end{align*}\] </div> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Decomposição das Somas de Quadrados <div class="math"> \[\begin{align*} \sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^n (y_{ijk}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})^2&=bn\sum_{i=1}^a(\overline{y}_{i\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})^2+an\sum_{j=1}^b(\overline{y}_{\cdot j \cdot}-\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})^2\\ &+n\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b(\overline{y}_{ij\cdot}-\overline{y}_{i\cdot\cdot}-\overline{y}_{\cdot j\cdot}+\overline{y}_{\cdot\cdot\cdot})^2\\ &+\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^n(y_{ijk}-\overline{y}_{ij\cdot})^2 \end{align*}\] </div> Ou seja, `$$SQT=SQA+SQB+SQAB+SQE.$$` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Tabela de ANOVA |Fonte de Variação | Gl | SQ | QM | `\(F_0\)`| |:-----------------:|:------:|:-----------------------------------------------------------------------:|:----------------------------------:|:----:| | Fator A | `\(a-1\)` | `\(\sum_{i=1}^a \frac{y_{i\cdot\cdot}^2}{bn}-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abn}\)` | `\(\frac{SQA}{a-1}\)` | `\(\frac{QMA}{QME}\)` | | Fator B | `\(b-1\)` | `\(\sum_{j=1}^b \frac{y_{\cdot j\cdot}^2}{an}-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abn^2}\)` | `\(\frac{SQB}{b-1}\)` | `\(\frac{QMB}{QME}\)` | | Interação | `\((a-1)(b-1)\)` | `\(\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b \frac{y_{ij\cdot}^2}{n}-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abn}-SQA-SQB\)` | `\(\frac{SQAB}{(a-1)(b-1)}\)` | `\(\frac{QMAB}{QME}\)` | | Erro | `\(ab(n-1)\)` | `\(SQE=SQT-SQA-SQB-SQAB\)` | `\(\frac{SQE}{ab(n-1)}\)` | `\(\phantom{.}\)` | | Total | `\(abn-1\)`| `\(\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^b\sum_{k=1}^n y_{ijk}^2-\frac{y_{\cdot\cdot\cdot}^2}{abn}\)` | `\(\phantom{.}\)` | `\(\phantom{.}\)` | --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 1 - I Tempo de vida (horas) para um experimento de design de uma bateria - Montgomery, Pg. 181. | Material | |Temperatura ( `\(^oF\)` )| | |:---------:|:---------------:|:----------------:|:-----------------:| | | 15 | 70 | 125 | | 1 | `\(130\quad 155\)` | `\(34 \quad 40\)` | `\(20 \quad 70\)` | | | `\(74\quad 180\)` | `\(80 \quad 75\)` | `\(82 \quad 58\)` | | 2 | `\(150\quad 188\)` | `\(136 \quad 122\)` | `\(25 \quad 70\)` | | | `\(159\quad 126\)` | `\(106 \quad 115\)` | `\(58 \quad 45\)` | | 3 | `\(138\quad 110\)` | `\(174 \quad 120\)` | `\(96 \quad 104\)` | | | `\(168\quad 160\)` | `\(150 \quad 139\)` | `\(82 \quad 60\)` | --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 1 - II <div id="htmlwidget-98862468f5904c51895d" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div> <script type="application/json" data-for="htmlwidget-98862468f5904c51895d">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"extensions":["Buttons"],"data":[[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3],[15,15,15,15,70,70,70,70,125,125,125,125,15,15,15,15,70,70,70,70,125,125,125,125,15,15,15,15,70,70,70,70,125,125,125,125],[130,155,74,180,34,40,80,75,20,70,82,58,150,188,159,126,136,122,106,115,25,70,58,45,138,110,168,160,174,120,150,139,96,104,82,60]],"container":"<table class=\"compact\">\n <thead>\n <tr>\n <th>Material<\/th>\n <th>Temperatura<\/th>\n <th>Tempo<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tBp","buttons":[{"extend":"csv","filename":"baterias"},{"extend":"excel","filename":"baterias"},{"extend":"pdf","filename":"baterias"}],"pageLength":12,"columnDefs":[{"className":"dt-right","targets":[0,1,2]}],"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false,"lengthMenu":[10,12,25,50,100]}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ###Exemplo 1 - III ```r dados.fator<-transform(dados.fator, Material=factor(Material), Temperatura=factor(Temperatura)) g.means<-with(dados.fator, tapply(Tempo, list(Material,Temperatura), mean)) g.means ``` ``` ## 15 70 125 ## 1 134.75 57.25 57.5 ## 2 155.75 119.75 49.5 ## 3 144.00 145.75 85.5 ``` ```r means.material<-with(dados.fator, tapply(Tempo, Material, mean)) means.material ``` ``` ## 1 2 3 ## 83.16667 108.33333 125.08333 ``` ```r means.temperatura<-with(dados.fator, tapply(Tempo, Temperatura, mean)) means.temperatura ``` ``` ## 15 70 125 ## 144.83333 107.58333 64.16667 ``` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ###Exemplo 1 - IV ```r par(mfrow=c(1,2)) interaction.plot(Material, Temperatura, Tempo,legend=T,xlab="Material",trace.label="Temperatura",col=2:4,lwd=2) interaction.plot(Temperatura, Material, Tempo,legend=T,xlab="Temperatura",trace.label="Material",col=2:4,lwd=2) ``` <img src="Experimentos_fatoriais_files/figure-html/unnamed-chunk-6-1.png" width="35%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ###Exemplo 1 - V **ANOVA** ```r fit.fator <- aov(Tempo ~ Material*Temperatura, data = dados.fator) summary(fit.fator) ``` ``` ## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) ## Material 2 10684 5342 7.911 0.00198 ** ## Temperatura 2 39119 19559 28.968 1.91e-07 *** ## Material:Temperatura 4 9614 2403 3.560 0.01861 * ## Residuals 27 18231 675 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ``` --- ###Exemplo 1 - VI **Alternativa para visualização das médias** ```r fit.fator.multcomp<-lsmeans::lsmeans(fit.fator, ~Material:Temperatura) summary(fit.fator.multcomp,infer=T) ``` ``` ## Material Temperatura lsmean SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value ## 1 15 134.8 13 27 108.1 161.4 10.371 <.0001 ## 2 15 155.8 13 27 129.1 182.4 11.988 <.0001 ## 3 15 144.0 13 27 117.3 170.7 11.083 <.0001 ## 1 70 57.2 13 27 30.6 83.9 4.406 0.0001 ## 2 70 119.8 13 27 93.1 146.4 9.217 <.0001 ## 3 70 145.8 13 27 119.1 172.4 11.218 <.0001 ## 1 125 57.5 13 27 30.8 84.2 4.426 0.0001 ## 2 125 49.5 13 27 22.8 76.2 3.810 0.0007 ## 3 125 85.5 13 27 58.8 112.2 6.581 <.0001 ## ## Confidence level used: 0.95 ``` --- ###Exemplo 1 - VII **Comparações Múltiplas para o efeito do material por temperatura** ```r fit.fator.mat.temp<-lsmeans::lsmeans(fit.fator, ~Material|Temperatura) summary(fit.fator.mat.temp,infer=T) ``` ``` ## Temperatura = 15: ## Material lsmean SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value ## 1 134.8 13 27 108.1 161.4 10.371 <.0001 ## 2 155.8 13 27 129.1 182.4 11.988 <.0001 ## 3 144.0 13 27 117.3 170.7 11.083 <.0001 ## ## Temperatura = 70: ## Material lsmean SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value ## 1 57.2 13 27 30.6 83.9 4.406 0.0001 ## 2 119.8 13 27 93.1 146.4 9.217 <.0001 ## 3 145.8 13 27 119.1 172.4 11.218 <.0001 ## ## Temperatura = 125: ## Material lsmean SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value ## 1 57.5 13 27 30.8 84.2 4.426 0.0001 ## 2 49.5 13 27 22.8 76.2 3.810 0.0007 ## 3 85.5 13 27 58.8 112.2 6.581 <.0001 ## ## Confidence level used: 0.95 ``` --- ###Exemplo 1 - VIII **Comparações das diferenças por pares** ```r pairs(fit.fator.mat.temp) ``` ``` ## Temperatura = 15: ## contrast estimate SE df t.ratio p.value ## 1 - 2 -21.00 18.4 27 -1.143 0.4967 ## 1 - 3 -9.25 18.4 27 -0.503 0.8703 ## 2 - 3 11.75 18.4 27 0.639 0.7998 ## ## Temperatura = 70: ## contrast estimate SE df t.ratio p.value ## 1 - 2 -62.50 18.4 27 -3.402 0.0058 ## 1 - 3 -88.50 18.4 27 -4.817 0.0001 ## 2 - 3 -26.00 18.4 27 -1.415 0.3475 ## ## Temperatura = 125: ## contrast estimate SE df t.ratio p.value ## 1 - 2 8.00 18.4 27 0.435 0.9012 ## 1 - 3 -28.00 18.4 27 -1.524 0.2959 ## 2 - 3 -36.00 18.4 27 -1.959 0.1419 ## ## P value adjustment: tukey method for comparing a family of 3 estimates ``` ```r confint(pairs(fit.fator.mat.temp)) ``` ``` ## Temperatura = 15: ## contrast estimate SE df lower.CL upper.CL ## 1 - 2 -21.00 18.4 27 -66.6 24.56 ## 1 - 3 -9.25 18.4 27 -54.8 36.31 ## 2 - 3 11.75 18.4 27 -33.8 57.31 ## ## Temperatura = 70: ## contrast estimate SE df lower.CL upper.CL ## 1 - 2 -62.50 18.4 27 -108.1 -16.94 ## 1 - 3 -88.50 18.4 27 -134.1 -42.94 ## 2 - 3 -26.00 18.4 27 -71.6 19.56 ## ## Temperatura = 125: ## contrast estimate SE df lower.CL upper.CL ## 1 - 2 8.00 18.4 27 -37.6 53.56 ## 1 - 3 -28.00 18.4 27 -73.6 17.56 ## 2 - 3 -36.00 18.4 27 -81.6 9.56 ## ## Confidence level used: 0.95 ## Conf-level adjustment: tukey method for comparing a family of 3 estimates ``` --- ###Exemplo 1 - IX **Comparações Múltiplas para o efeito do material por temperatura** ```r fit.fator.temp.mat<-lsmeans::lsmeans(fit.fator, ~Temperatura|Material) summary(fit.fator.temp.mat,infer=T) ``` ``` ## Material = 1: ## Temperatura lsmean SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value ## 15 134.8 13 27 108.1 161.4 10.371 <.0001 ## 70 57.2 13 27 30.6 83.9 4.406 0.0001 ## 125 57.5 13 27 30.8 84.2 4.426 0.0001 ## ## Material = 2: ## Temperatura lsmean SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value ## 15 155.8 13 27 129.1 182.4 11.988 <.0001 ## 70 119.8 13 27 93.1 146.4 9.217 <.0001 ## 125 49.5 13 27 22.8 76.2 3.810 0.0007 ## ## Material = 3: ## Temperatura lsmean SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value ## 15 144.0 13 27 117.3 170.7 11.083 <.0001 ## 70 145.8 13 27 119.1 172.4 11.218 <.0001 ## 125 85.5 13 27 58.8 112.2 6.581 <.0001 ## ## Confidence level used: 0.95 ``` --- ###Exemplo 1 - X **Comparações das diferenças por pares** ```r pairs(fit.fator.temp.mat) ``` ``` ## Material = 1: ## contrast estimate SE df t.ratio p.value ## 15 - 70 77.50 18.4 27 4.218 0.0007 ## 15 - 125 77.25 18.4 27 4.204 0.0007 ## 70 - 125 -0.25 18.4 27 -0.014 0.9999 ## ## Material = 2: ## contrast estimate SE df t.ratio p.value ## 15 - 70 36.00 18.4 27 1.959 0.1419 ## 15 - 125 106.25 18.4 27 5.783 <.0001 ## 70 - 125 70.25 18.4 27 3.823 0.0020 ## ## Material = 3: ## contrast estimate SE df t.ratio p.value ## 15 - 70 -1.75 18.4 27 -0.095 0.9950 ## 15 - 125 58.50 18.4 27 3.184 0.0099 ## 70 - 125 60.25 18.4 27 3.279 0.0078 ## ## P value adjustment: tukey method for comparing a family of 3 estimates ``` ```r confint(pairs(fit.fator.temp.mat)) ``` ``` ## Material = 1: ## contrast estimate SE df lower.CL upper.CL ## 15 - 70 77.50 18.4 27 31.94 123.1 ## 15 - 125 77.25 18.4 27 31.69 122.8 ## 70 - 125 -0.25 18.4 27 -45.81 45.3 ## ## Material = 2: ## contrast estimate SE df lower.CL upper.CL ## 15 - 70 36.00 18.4 27 -9.56 81.6 ## 15 - 125 106.25 18.4 27 60.69 151.8 ## 70 - 125 70.25 18.4 27 24.69 115.8 ## ## Material = 3: ## contrast estimate SE df lower.CL upper.CL ## 15 - 70 -1.75 18.4 27 -47.31 43.8 ## 15 - 125 58.50 18.4 27 12.94 104.1 ## 70 - 125 60.25 18.4 27 14.69 105.8 ## ## Confidence level used: 0.95 ## Conf-level adjustment: tukey method for comparing a family of 3 estimates ``` --- ###Exemplo 1 - XI **Análise de resíduos** ```r par(mfrow=c(2,2)) plot(fit.fator) ``` <img src="Experimentos_fatoriais_files/figure-html/unnamed-chunk-13-1.png" width="40%" style="display: block; margin: auto;" /> --- ###Exemplo 1 - XII **Desdobramento das interações** Quando a interação entre os fatores é significativa, podemos desdobrar os graus de liberdade de um fator dentro dos níveis do outro * Efeito da temperatura para cada material ```r fit.fator.m <- aov(Tempo ~ Material/Temperatura, data = dados.fator) names(coef(fit.fator.m)) ``` ``` ## [1] "(Intercept)" "Material2" ## [3] "Material3" "Material1:Temperatura70" ## [5] "Material2:Temperatura70" "Material3:Temperatura70" ## [7] "Material1:Temperatura125" "Material2:Temperatura125" ## [9] "Material3:Temperatura125" ``` ```r grep("Material1:", names(coef(fit.fator.m)[4:9])) ``` ``` ## [1] 1 4 ``` --- ###Exemplo 1 - XIII ```r summary(fit.fator.m, split=list("Material:Temperatura"=list("M1"=c(1,4), "M2"=c(2,5), "M3"=c(3,6)))) ``` ``` ## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) ## Material 2 10684 5342 7.911 0.001976 ** ## Material:Temperatura 6 48733 8122 12.029 1.48e-06 *** ## Material:Temperatura: M1 2 15965 7983 11.822 0.000205 *** ## Material:Temperatura: M2 2 23360 11680 17.298 1.46e-05 *** ## Material:Temperatura: M3 2 9407 4704 6.966 0.003635 ** ## Residuals 27 18231 675 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ``` --- ###Exemplo 1 - XIV * Efeito do material em cada temperatura ```r fit.fator.t <- aov(Tempo ~ Temperatura/Material, data = dados.fator) names(coef(fit.fator.t)) ``` ``` ## [1] "(Intercept)" "Temperatura70" ## [3] "Temperatura125" "Temperatura15:Material2" ## [5] "Temperatura70:Material2" "Temperatura125:Material2" ## [7] "Temperatura15:Material3" "Temperatura70:Material3" ## [9] "Temperatura125:Material3" ``` ```r grep("Temperatura15:", names(coef(fit.fator.t)[4:9])) ``` ``` ## [1] 1 4 ``` ```r grep("Temperatura70:", names(coef(fit.fator.t)[4:9])) ``` ``` ## [1] 2 5 ``` ```r grep("Temperatura125:", names(coef(fit.fator.t)[4:9])) ``` ``` ## [1] 3 6 ``` --- ###Exemplo 1 - XV ```r summary(fit.fator.t, split=list("Temperatura:Material"=list("T15"=c(1,4), "T70"=c(2,5), "T125"=c(3,6)))) ``` ``` ## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) ## Temperatura 2 39119 19559 28.968 1.91e-07 *** ## Temperatura:Material 6 20298 3383 5.010 0.001447 ** ## Temperatura:Material: T15 2 886 443 0.656 0.526890 ## Temperatura:Material: T70 2 16553 8276 12.257 0.000163 *** ## Temperatura:Material: T125 2 2859 1429 2.117 0.139955 ## Residuals 27 18231 675 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ``` --- ###Exemplo 1 - XVI **Comparações de Tukey** ```r fit.fator.multcomp<-TukeyHSD(fit.fator, "Material:Temperatura") plot(fit.fator.multcomp) ``` <img src="Experimentos_fatoriais_files/figure-html/unnamed-chunk-18-1.png" width="40%" style="display: block; margin: auto;" /> --- ###Exemplo 1 - XVII **Comparações de Tukey** ``` ## Tukey multiple comparisons of means ## 95% family-wise confidence level ## ## Fit: aov(formula = Tempo ~ Material * Temperatura, data = dados.fator) ## ## $`Material:Temperatura` ## diff lwr upr p adj ## 2:15-1:15 21.00 -40.823184 82.823184 0.9616404 ## 3:15-1:15 9.25 -52.573184 71.073184 0.9998527 ## 1:70-1:15 -77.50 -139.323184 -15.676816 0.0065212 ## 2:70-1:15 -15.00 -76.823184 46.823184 0.9953182 ## 3:70-1:15 11.00 -50.823184 72.823184 0.9994703 ## 1:125-1:15 -77.25 -139.073184 -15.426816 0.0067471 ## 2:125-1:15 -85.25 -147.073184 -23.426816 0.0022351 ## 3:125-1:15 -49.25 -111.073184 12.573184 0.2016535 ## 3:15-2:15 -11.75 -73.573184 50.073184 0.9991463 ## 1:70-2:15 -98.50 -160.323184 -36.676816 0.0003449 ## 2:70-2:15 -36.00 -97.823184 25.823184 0.5819453 ## 3:70-2:15 -10.00 -71.823184 51.823184 0.9997369 ## 1:125-2:15 -98.25 -160.073184 -36.426816 0.0003574 ## 2:125-2:15 -106.25 -168.073184 -44.426816 0.0001152 ## 3:125-2:15 -70.25 -132.073184 -8.426816 0.0172076 ## 1:70-3:15 -86.75 -148.573184 -24.926816 0.0018119 ## 2:70-3:15 -24.25 -86.073184 37.573184 0.9165175 ## 3:70-3:15 1.75 -60.073184 63.573184 1.0000000 ## 1:125-3:15 -86.50 -148.323184 -24.676816 0.0018765 ## 2:125-3:15 -94.50 -156.323184 -32.676816 0.0006078 ## 3:125-3:15 -58.50 -120.323184 3.323184 0.0742711 ## 2:70-1:70 62.50 0.676816 124.323184 0.0460388 ## 3:70-1:70 88.50 26.676816 150.323184 0.0014173 ## 1:125-1:70 0.25 -61.573184 62.073184 1.0000000 ## 2:125-1:70 -7.75 -69.573184 54.073184 0.9999614 ## 3:125-1:70 28.25 -33.573184 90.073184 0.8281938 ## 3:70-2:70 26.00 -35.823184 87.823184 0.8822881 ## 1:125-2:70 -62.25 -124.073184 -0.426816 0.0474675 ## 2:125-2:70 -70.25 -132.073184 -8.426816 0.0172076 ## 3:125-2:70 -34.25 -96.073184 27.573184 0.6420441 ## 1:125-3:70 -88.25 -150.073184 -26.426816 0.0014679 ## 2:125-3:70 -96.25 -158.073184 -34.426816 0.0004744 ## 3:125-3:70 -60.25 -122.073184 1.573184 0.0604247 ## 2:125-1:125 -8.00 -69.823184 53.823184 0.9999508 ## 3:125-1:125 28.00 -33.823184 89.823184 0.8347331 ## 3:125-2:125 36.00 -25.823184 97.823184 0.5819453 ``` --- ###Exemplo 1 - XVIII **Comparações de Tukey** ``` ## Tukey multiple comparisons of means ## 95% family-wise confidence level ## ## Fit: aov(formula = Tempo ~ Material/Temperatura, data = dados.fator) ## ## $Material ## diff lwr upr p adj ## 2-1 25.16667 -1.135677 51.46901 0.0627571 ## 3-1 41.91667 15.614323 68.21901 0.0014162 ## 3-2 16.75000 -9.552344 43.05234 0.2717815 ## ## $`Material:Temperatura` ## diff lwr upr p adj ## 2:15-1:15 21.00 -40.823184 82.823184 0.9616404 ## 3:15-1:15 9.25 -52.573184 71.073184 0.9998527 ## 1:70-1:15 -77.50 -139.323184 -15.676816 0.0065212 ## 2:70-1:15 -15.00 -76.823184 46.823184 0.9953182 ## 3:70-1:15 11.00 -50.823184 72.823184 0.9994703 ## 1:125-1:15 -77.25 -139.073184 -15.426816 0.0067471 ## 2:125-1:15 -85.25 -147.073184 -23.426816 0.0022351 ## 3:125-1:15 -49.25 -111.073184 12.573184 0.2016535 ## 3:15-2:15 -11.75 -73.573184 50.073184 0.9991463 ## 1:70-2:15 -98.50 -160.323184 -36.676816 0.0003449 ## 2:70-2:15 -36.00 -97.823184 25.823184 0.5819453 ## 3:70-2:15 -10.00 -71.823184 51.823184 0.9997369 ## 1:125-2:15 -98.25 -160.073184 -36.426816 0.0003574 ## 2:125-2:15 -106.25 -168.073184 -44.426816 0.0001152 ## 3:125-2:15 -70.25 -132.073184 -8.426816 0.0172076 ## 1:70-3:15 -86.75 -148.573184 -24.926816 0.0018119 ## 2:70-3:15 -24.25 -86.073184 37.573184 0.9165175 ## 3:70-3:15 1.75 -60.073184 63.573184 1.0000000 ## 1:125-3:15 -86.50 -148.323184 -24.676816 0.0018765 ## 2:125-3:15 -94.50 -156.323184 -32.676816 0.0006078 ## 3:125-3:15 -58.50 -120.323184 3.323184 0.0742711 ## 2:70-1:70 62.50 0.676816 124.323184 0.0460388 ## 3:70-1:70 88.50 26.676816 150.323184 0.0014173 ## 1:125-1:70 0.25 -61.573184 62.073184 1.0000000 ## 2:125-1:70 -7.75 -69.573184 54.073184 0.9999614 ## 3:125-1:70 28.25 -33.573184 90.073184 0.8281938 ## 3:70-2:70 26.00 -35.823184 87.823184 0.8822881 ## 1:125-2:70 -62.25 -124.073184 -0.426816 0.0474675 ## 2:125-2:70 -70.25 -132.073184 -8.426816 0.0172076 ## 3:125-2:70 -34.25 -96.073184 27.573184 0.6420441 ## 1:125-3:70 -88.25 -150.073184 -26.426816 0.0014679 ## 2:125-3:70 -96.25 -158.073184 -34.426816 0.0004744 ## 3:125-3:70 -60.25 -122.073184 1.573184 0.0604247 ## 2:125-1:125 -8.00 -69.823184 53.823184 0.9999508 ## 3:125-1:125 28.00 -33.823184 89.823184 0.8347331 ## 3:125-2:125 36.00 -25.823184 97.823184 0.5819453 ``` --- ###Exemplo 1 - XIX **Comparações de Tukey** ``` ## Tukey multiple comparisons of means ## 95% family-wise confidence level ## ## Fit: aov(formula = Tempo ~ Temperatura/Material, data = dados.fator) ## ## $Temperatura ## diff lwr upr p adj ## 70-15 -37.25000 -63.55234 -10.94766 0.0043788 ## 125-15 -80.66667 -106.96901 -54.36432 0.0000001 ## 125-70 -43.41667 -69.71901 -17.11432 0.0009787 ## ## $`Temperatura:Material` ## diff lwr upr p adj ## 70:1-15:1 -77.50 -139.323184 -15.676816 0.0065212 ## 125:1-15:1 -77.25 -139.073184 -15.426816 0.0067471 ## 15:2-15:1 21.00 -40.823184 82.823184 0.9616404 ## 70:2-15:1 -15.00 -76.823184 46.823184 0.9953182 ## 125:2-15:1 -85.25 -147.073184 -23.426816 0.0022351 ## 15:3-15:1 9.25 -52.573184 71.073184 0.9998527 ## 70:3-15:1 11.00 -50.823184 72.823184 0.9994703 ## 125:3-15:1 -49.25 -111.073184 12.573184 0.2016535 ## 125:1-70:1 0.25 -61.573184 62.073184 1.0000000 ## 15:2-70:1 98.50 36.676816 160.323184 0.0003449 ## 70:2-70:1 62.50 0.676816 124.323184 0.0460388 ## 125:2-70:1 -7.75 -69.573184 54.073184 0.9999614 ## 15:3-70:1 86.75 24.926816 148.573184 0.0018119 ## 70:3-70:1 88.50 26.676816 150.323184 0.0014173 ## 125:3-70:1 28.25 -33.573184 90.073184 0.8281938 ## 15:2-125:1 98.25 36.426816 160.073184 0.0003574 ## 70:2-125:1 62.25 0.426816 124.073184 0.0474675 ## 125:2-125:1 -8.00 -69.823184 53.823184 0.9999508 ## 15:3-125:1 86.50 24.676816 148.323184 0.0018765 ## 70:3-125:1 88.25 26.426816 150.073184 0.0014679 ## 125:3-125:1 28.00 -33.823184 89.823184 0.8347331 ## 70:2-15:2 -36.00 -97.823184 25.823184 0.5819453 ## 125:2-15:2 -106.25 -168.073184 -44.426816 0.0001152 ## 15:3-15:2 -11.75 -73.573184 50.073184 0.9991463 ## 70:3-15:2 -10.00 -71.823184 51.823184 0.9997369 ## 125:3-15:2 -70.25 -132.073184 -8.426816 0.0172076 ## 125:2-70:2 -70.25 -132.073184 -8.426816 0.0172076 ## 15:3-70:2 24.25 -37.573184 86.073184 0.9165175 ## 70:3-70:2 26.00 -35.823184 87.823184 0.8822881 ## 125:3-70:2 -34.25 -96.073184 27.573184 0.6420441 ## 15:3-125:2 94.50 32.676816 156.323184 0.0006078 ## 70:3-125:2 96.25 34.426816 158.073184 0.0004744 ## 125:3-125:2 36.00 -25.823184 97.823184 0.5819453 ## 70:3-15:3 1.75 -60.073184 63.573184 1.0000000 ## 125:3-15:3 -58.50 -120.323184 3.323184 0.0742711 ## 125:3-70:3 -60.25 -122.073184 1.573184 0.0604247 ``` --- ###Exemplo 1 - XX **Comparações de Tukey** <img src="Experimentos_fatoriais_files/figure-html/unnamed-chunk-22-1.png" width="45%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ##Delineamento Fatorial `\(2^k\)` * Em muitos casos podem ser considerados apenas dois níveis de cada fator (os níveis principais ou simplesmente a ausência e presença de cada fator), para se ter uma idéia dos fatores relevantes. * Em outros casos, simplesmente tem-se interesse em apenas dois níveis de cada fator. Nesse caso, surgem algumas particularidades (facilidades). * Os fatores podem ser qualitativos ou quantitativos. --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ##Exemplo 2 - I Um pesquisador está interessado em estudar os efeitos das concentrações de um reagente e da quantidade de catalisador em um determinado processo químico. A resposta de interesse é a produção relativa a esse processo. Foram analisados os fatores Reagente (Fator A: 15% e 25%) e Catalisador (Fator B: 1 libra e 2 libras). Para cada tratamento foram realizadas três repetições. Obteve-se: | Reagente | Catalisador | | |:---------:|:---------------------:|:---------------------:| | | 1 | 2 | | 15% | `\(28\quad 25\quad 27\)` | `\(18\quad 19\quad 23\)` | | 25% | `\(36\quad 32\quad 32\)` | `\(31\quad 30\quad 29\)` | --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ##Exemplo 2 - II **Apresentação Alternativa** | Fator | Tratamento | | Repetição | | Total | |:---------------:|:-----------:|:-----:|:----------:|:-----:|:-----:| | `\(A\quad\quad B\)` | | 1 | 2 | 3 | | | `\(-\quad\quad -\)` | A15,B1 | 28 | 25 | 27 | 80 | | `\(+\quad\quad -\)` | A25,B1 | 36 | 32 | 32 | 100 | | `\(-\quad\quad +\)` | A15,B2 | 18 | 19 | 23 | 60 | | `\(+\quad\quad +\)` | A25,B2 | 31 | 30 | 29 | 90 | * Os sinais `\(+\)` e `\(-\)` denotam os maiores e menores níveis de cada fator, respectivamente. --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ##Exemplo 2 - II **Representação gráfica do experimento** <img src="images/exemplo_fatorial_2k.png" width="45%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ##Exemplo 2 - III **Efeitos dos Fatores** * Fator A: `$$A=\overline{y}_{A+}-\overline{y}_{A-}=\frac{1}{2n}[ab+a-b-(1)]=\frac{1}{6}[90+100-60-80]=8,33$$` -- * Fator B: `$$B=\overline{y}_{B+}-\overline{y}_{B-}=\frac{1}{2n}[ab+b-a-(1)]=\frac{1}{6}[90+60-100-80]=-5,00$$` -- * Interação: <div class="math"> \[\begin{align*} AB&=(\overline{y}_{A+,B+}-\overline{y}_{A-B+})-(\overline{y}_{A+,B-}-\overline{y}_{A-B-})\\ &=\frac{1}{2n}[ab+(1)-a-b]=\frac{1}{6}[90+80-100-60]=1,67 \end{align*}\] </div> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ##Exemplo 2 - IV **Observações** * O fator A tem efeito crescente. * O fator B tem efeito decrescente. * A interação apresenta um efeito menor do que os efeitos principais. * Para o cálculo dos efeitos dos fatores foram usados contrastes -- **Soma de Quadrados dos Contrastes do efeito total dos fatores** `$$SQ_C=\frac{\left(\sum_{i=1}^a c_i\overline{y}_i\right)^2}{n\sum_{i=1}^a c_i^2}.$$` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ##Exemplo 2 - V Dessa forma: <div class="math"> \[\begin{align*} SQ_A&=\frac{1}{4n}[ab+a-b-(1)]^2=208,33\\ SQ_B&=\frac{1}{4n}[ab+b-a-(1)]^2=75,00\\ SQ_{AB}&=\frac{1}{4n}[ab+(1)-a-b]^2=8,33 \end{align*}\] </div> As Somas de Quadrados Total e do Erro são calculadas da forma usual. -- > Essa forma de cálculo é muito útil quando se analisam bancos de dados consideravelmente grandes. --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ##Exemplo 2 - V **Tabela de contrastes** | Efeito | (1) | a | b | ab | |:------:|:----:|:---:|:---:|:---:| | A: | -1 | +1 | -1 | +1 | | B: | -1 | -1 | +1 | +1 | | AB: | +1 | -1 | -1 | +1 | Contribuição de cada fator na explicação da variabilidade dos dados: | Fator | Efeito estimado | SQ | Contribuição (%) | |:------:|:----------------:|:------:|:------------------:| | A: | 8,33 | 208,33 | 64,44 | | B: | -5,00 | 75,00 | 23,22 | | AB: | 1,67 | 8,33 | 2,58 | | Resíduo| | 31,33 | | | | | 323,00 | | --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Experimento Fatorial `\(2^3\)` **Representação gráfica do experimento** <img src="images/Esquema_fatorial_2_3.png" width="45%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Efeitos no experimento fatorial `\(2^3\)` <img src="images/Efeitos_fatorial_2_3.png" width="40%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 3 - I Uma empresa está interessada em garantir que a quantidade de refrigerante colocada em cada garrafa seja mais uniforme entre os vasilhames. Fatores de interesse: * Percentual de carbonatação (CARB): 10% e 12% * Pressão de operação no enchimento (PRE): 25 e 30 psi * Velocidade na linha de produção (VELOC): 200 e 250 bpm. -- > Há um total de `\(2\times 2 \times 2 = 8\)` tratamentos. Para cada tratamento foram medidas as diferenças entre a quantidade de refrigerante inserida no vasilhame menos o valor padrão de dois refrigerantes escolhidos ao acaso. --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 3 - II **Resultados do experimento** | | Fator | | Tratamento | Repetição | | Total | |:--:|:-----:|:---:|:----------:|:-----------:|:--:|:-----:| | A | B | C | | 1 | 2 | | | - | - | - | (1) | -3 | -1 | -4 | | - | - | + | c | -1 | 0 | -1 | | - | + | - | b | -1 | 0 | -1 | | - | + | + | bc | 1 | 1 | 2 | | + | - | - | a | 0 | 1 | 1 | | + | - | + | ac | 2 | 1 | 3 | | + | + | - | ab | 2 | 3 | 5 | | + | + | + | abc | 6 | 5 | 11 | >**Obs:** Os sinais " `\(-\)` " e " `\(+\)` " denotam, respectivamente, os níveis inferiores e superiores de cada fator. --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 3 - III **Representação gráfica do experimento** <img src="images/exemplo_2_3.png" width="45%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 3 - IV **Tabela de contrastes** | Tratamento | | | Coeficientes | | | | | | |:------------:|:--:|:---:|:------------:|:---:|:--:|:----:|:---:|:-----:| | | I | A | B | AB | C | AC | BC | ABC | | (1) | + | - | - | + | - | + | + | - | | a | + | + | - | - | - | - | + | + | | b | + | - | + | - | - | + | - | + | | ab | + | + | + | + | - | - | - | - | | c | + | - | - | + | + | - | - | + | | ac | + | + | - | - | + | + | - | - | | bc | + | - | + | - | + | - | + | - | | abc | + | + | + | + | + | + | + | + | --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 3 - V **Estimação dos efeitos dos fatores** * Fator A: <div class="math"> \[\begin{align*} A&=\overline{y}_{A+}-\overline{y}_{A-}=\frac{1}{4n}[a-(1)+ab-b+ac-c+abc-bc]\\ &=\frac{1}{8}[1-(-4)+5-(-1)+3-(-1)+11-2]=3,00 \end{align*}\] </div> -- * Da mesma forma, obtemos os efeitos: <div class="math"> \[\begin{align*} B&=2,25 \quad\quad C=1,75\quad\quad AB=0,75\\ AC&=0,25 \quad\quad BC=0,50\quad\quad ABC=0,50 \end{align*}\] </div> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 3 - VI **Somas de quadrados** * `\(SQC=\frac{(contraste)^2}{8n}\)` * Assim, obtemos `$$SQA=\frac{(24)^2}{8(2)}=36,00$$` -- * Analogamente, <div class="math"> \[\begin{align*} SQB&=20,25\quad\quad SQC=12,25\\ SQAB&=2,25 \quad\quad SQAC=0,25\\ SQBC&=1,00\quad\quad SQABC=1,00 \end{align*}\] </div> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 3 - VII **Contribuição de cada fator na explicação da variabilidade dos dados** | Fator | Efeito estimado | SQ | Contribuição (%) | |:------:|:---------------:|:-----:|:------------------:| | A | 3,00 | 36,00 | 46,15 | | B | 2,25 | 20,25 | 25,96 | | C | 2,75 | 12,25 | 15,71 | | AB | 0,75 | 2,25 | 2,88 | | AC | 0,25 | 0,25 | 0,32 | | BC | 0,50 | 1,00 | 1,28 | | ABC | 0,50 | 1,00 | 1,28 | |Resíduo| | 5,00 | 6,41 | | | | 78,00 | | --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 3 - VIII <div id="htmlwidget-564d6f0554fdfed538f5" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div> <script type="application/json" data-for="htmlwidget-564d6f0554fdfed538f5">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"extensions":["Buttons"],"data":[[-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,1,1],[-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1],[-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1],[-3,-1,-1,0,-1,0,1,1,0,1,2,1,2,3,6,5]],"container":"<table class=\"compact\">\n <thead>\n <tr>\n <th>A<\/th>\n <th>B<\/th>\n <th>C<\/th>\n <th>Diferenca<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tBp","buttons":[{"extend":"csv","filename":"refrigerante"},{"extend":"excel","filename":"refrigerante"},{"extend":"pdf","filename":"refrigerante"}],"pageLength":8,"columnDefs":[{"className":"dt-right","targets":[0,1,2,3]}],"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false,"lengthMenu":[8,10,25,50,100]}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ###Exemplo 3 - IX ```r dados.fat_2_3<-transform(dados.fat_2_3, A=factor(A), B=factor(B), C=factor(C)) medias<-with(dados.fat_2_3, tapply(Diferenca, list(A,B,C), mean)) medias ``` ``` ## , , -1 ## ## -1 1 ## -1 -2.0 -0.5 ## 1 0.5 2.5 ## ## , , 1 ## ## -1 1 ## -1 -0.5 1.0 ## 1 1.5 5.5 ``` ```r media.A<-with(dados.fat_2_3, tapply(Diferenca, A, mean)) media.A ``` ``` ## -1 1 ## -0.5 2.5 ``` ```r media.B<-with(dados.fat_2_3, tapply(Diferenca, B, mean)) media.B ``` ``` ## -1 1 ## -0.125 2.125 ``` ```r media.C<-with(dados.fat_2_3, tapply(Diferenca, C, mean)) media.C ``` ``` ## -1 1 ## 0.125 1.875 ``` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ###Exemplo 3 - X ```r boxplot(Diferenca ~ A * B * C, data=dados.fat_2_3, ylab="Diferença") ``` <img src="Experimentos_fatoriais_files/figure-html/unnamed-chunk-30-1.png" width="35%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ###Exemplo 3 - XI **ANOVA** ```r fit.fat_2_3 <- aov(Diferenca ~ A*B*C, data = dados.fat_2_3) summary(fit.fat_2_3) ``` ``` ## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) ## A 1 36.00 36.00 57.6 6.37e-05 *** ## B 1 20.25 20.25 32.4 0.000459 *** ## C 1 12.25 12.25 19.6 0.002205 ** ## A:B 1 2.25 2.25 3.6 0.094350 . ## A:C 1 0.25 0.25 0.4 0.544737 ## B:C 1 1.00 1.00 1.6 0.241504 ## A:B:C 1 1.00 1.00 1.6 0.241504 ## Residuals 8 5.00 0.63 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 ``` --- ###Exemplo 3 - XII **Alternativa para visualização das médias** ```r fit.fat_2_3.multcomp<-lsmeans::lsmeans(fit.fat_2_3, ~A:B:C) summary(fit.fat_2_3.multcomp,infer=T) ``` ``` ## A B C lsmean SE df lower.CL upper.CL t.ratio p.value ## -1 -1 -1 -2.0 0.559 8 -3.289 -0.711 -3.578 0.0072 ## 1 -1 -1 0.5 0.559 8 -0.789 1.789 0.894 0.3972 ## -1 1 -1 -0.5 0.559 8 -1.789 0.789 -0.894 0.3972 ## 1 1 -1 2.5 0.559 8 1.211 3.789 4.472 0.0021 ## -1 -1 1 -0.5 0.559 8 -1.789 0.789 -0.894 0.3972 ## 1 -1 1 1.5 0.559 8 0.211 2.789 2.683 0.0278 ## -1 1 1 1.0 0.559 8 -0.289 2.289 1.789 0.1114 ## 1 1 1 5.5 0.559 8 4.211 6.789 9.839 <.0001 ## ## Confidence level used: 0.95 ``` --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Observações * Quando `\(k\)` aumenta, o número de tratamentos aumenta exponencialmente * Para `\(k = 4\)`, temos 16 tratamentos; `\(k = 5\)`, temos 32 tratamentos e `\(k = 6\)` temos 64 tratamentos. * Praticamente impossível avaliar a significância dos efeitos através da ANOVA sem ter pelo menos duas repetições por tratamento. * Com apenas uma observação por tratamento, se ajustado o modelo completo restará 0 graus de liberdade para o resíduo. --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Alternativas - I * Desconsiderar certos efeitos (por exemplo, algumas interações). Entretanto, tais efeitos são contabilizados no resíduo, dessa forma, poderiam levar a conclusões errôneas. * Usar alguma estatística para que, de forma descritiva, se avalie a magnitude dos efeitos. * Usar outros modelos. -- > **Proposta do Daniel, 1959:** * Dados os pressupostos do modelo, espera-se que os estimadores de cada efeito tenham distribuição normal com variância `\(\sigma^2\)`. * Dado que são combinações lineares de médias, se um efeito é não significativo espera-se que a distribuição do estimador tenha média próxima a zero. --- ###Exemplo 3 - XIII ```r lm.fat_2_3<-lm(Diferenca~A*B*C) DanielPlot(lm.fat_2_3) ``` <img src="Experimentos_fatoriais_files/figure-html/unnamed-chunk-33-1.png" width="40%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Delineamento fatorial `\(2^4\)` ## Exemplo 4 - I Um produto químico é produzido num recipiente sob pressão. Os fatores considerados são: * Temperatura (A) * Pressão (B) * Concentração de formaldeído (C) * Taxa de agitação (D). O interesse é maximizar a taxa de filtração. --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo 4 - II **Tabela de Contrastes** | | Fator | | | Tratamento | Filtração || | Fator | | | Tratamento | Filtração | |:--:|:-----:|:---:|:----:|:----------:|:-----:||:--:|:-----:|:---:|:----:|:----------:|:-----:| | A | B | C | D | | || A | B | C | D | | | | - | - | - | - |(1) | 45 || - | - | - | + | d | 43 | | + | - | - | - | a | 71 || + | - | - | + | ad | 100 | | - | + | - | - | b | 48 || - | + | - | + | bd | 45 | | + | + | - | - |ab | 65 || + | + | - | + |abd | 104 | | - | - | + | - |c | 68 || - | - | + | + |cd | 75 | | + | - | + | - |ac | 60 || + | - | + | + |acd | 86 | | - | + | + | - |bc | 80 || - | + | + | + |bcd | 70 | | + | + | + | - |abc | 65 || + | + | + | + |abcd | 96 | --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo 4 - III **Representação gráfica do experimento** <img src="images/exemplo_2_4.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo 4 - IV **Efeitos estimados** | Fator | Efeito estimado | SQ | Contribuição (%) || Fator | Efeito estimado | SQ | Contribuição (%) | |:------:|:---------------:|:-------:|:------------------:||:------:|:---------------:|:-------:|:-----------------:| | A | 21,63 | 1870,56 | 32,64 || BD | -0,38 | 0,56 | <0,01 | | B | 3,13 | 39,06 | 0,68 || CD | -1,13 | 5,06 | 0,09 | | C | 9,88 | 390,06 | 6,80 || ABC | 1,88 | 14,06 | 0,24 | | D | 14,63 | 855,56 | 14,93 || ABD | 4,13 | 68,06 | 1,19 | | AB | 0,13 | 0,06 | <0,01 || ACD | 1,63 | 10,56 | 0,18 | | AC | -18,13 | 1314,06| 22,29 || BCD | -2,63 | 27,56 | 0,48 | | AD | 16,63 | 1105,56 | 19,29 || ABCD | 1,38 | 7,56 | 0,13 | | BC | 2,38 | 22,56 | 0,39 || | | | | --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Exemplo 4 - V **qq-plot dos efeitos** <img src="images/qqplot_2_4.png" width="55%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 4 - VI <div id="htmlwidget-66fcff7f1f612a36b3eb" style="width:100%;height:auto;" class="datatables html-widget"></div> <script type="application/json" data-for="htmlwidget-66fcff7f1f612a36b3eb">{"x":{"filter":"none","vertical":false,"extensions":["Buttons"],"data":[[-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1],[-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1,-1,-1,1,1],[-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1],[-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,1,1,1],[45,71,48,65,68,60,80,65,43,100,45,104,75,86,70,96]],"container":"<table class=\"compact\">\n <thead>\n <tr>\n <th>A<\/th>\n <th>B<\/th>\n <th>C<\/th>\n <th>D<\/th>\n <th>taxa<\/th>\n <\/tr>\n <\/thead>\n<\/table>","options":{"dom":"tBp","buttons":[{"extend":"csv","filename":"Quimico"},{"extend":"excel","filename":"Quimico"},{"extend":"pdf","filename":"Quimico"}],"pageLength":8,"columnDefs":[{"className":"dt-right","targets":[0,1,2,3,4]}],"order":[],"autoWidth":false,"orderClasses":false,"lengthMenu":[8,10,25,50,100]}},"evals":[],"jsHooks":[]}</script> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ###Exemplo 4 - VII ``` ## The following objects are masked from dados.fat_2_3: ## ## A, B, C ``` ```r boxplot(taxa ~ A * B * C * D, data=dados.fat_2_4, ylab="Taxa") ``` <img src="Experimentos_fatoriais_files/figure-html/unnamed-chunk-38-1.png" width="35%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn ###Exemplo 4 - VIII **ANOVA** ```r fit.fat_2_4 <- aov(taxa ~ A*B*C*D, data = dados.fat_2_4) summary(fit.fat_2_4) ``` ``` ## Df Sum Sq Mean Sq ## A 1 1870.6 1870.6 ## B 1 39.1 39.1 ## C 1 390.1 390.1 ## D 1 855.6 855.6 ## A:B 1 0.1 0.1 ## A:C 1 1314.1 1314.1 ## B:C 1 22.6 22.6 ## A:D 1 1105.6 1105.6 ## B:D 1 0.6 0.6 ## C:D 1 5.1 5.1 ## A:B:C 1 14.1 14.1 ## A:B:D 1 68.1 68.1 ## A:C:D 1 10.6 10.6 ## B:C:D 1 27.6 27.6 ## A:B:C:D 1 7.6 7.6 ``` --- ###Exemplo 4 - IX ```r lm.fat_2_4<-lm(taxa~A*B*C*D) DanielPlot(lm.fat_2_4) ``` <img src="Experimentos_fatoriais_files/figure-html/unnamed-chunk-40-1.png" width="40%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Adição de pontos centrais - I Uma verificação importante nos desenhos fatoriais com dois níveis deve ser referente à linearidade no efeito do fator. A adição de pontos centrais ao fatorial proporciona informação sobre a curvatura e permite uma estimativa independente do erro experimental. **Exemplo:** <img src="images/Pontos_centrais_2_k.png" width="35%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn # Adição de pontos centrais - II A soma de quadrados de um grau de liberdade para a curvatura é dada por <div class="math"> \[\begin{align*} SQ_{Curv}&=\dfrac{n_{_F}n_{_C}(\bar{y}_{_F}-\bar{y}_{_C})^2}{n_{_F}+n_{_C}}\\ &=\left(\dfrac{\bar{y}_{_F}-\bar{y}_{_C}}{\sqrt{\dfrac{1}{n_{_F}}+\dfrac{1}{n_{_C}}}}\right)^2, \end{align*}\] </div> onde * `\(n_{_F}\)` e `\(n_{_C}\)` são os números de observações do experimento fatorial e dos pontos centrais, respectivamente. * `\(\bar{y}_{_F}\)` e `\(\bar{y}_{_C}\)` representam as médias dos dados do experimento fatorial e dos pontos centrais, respectivamente. --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 5 - I Uma engenheira química está estudando o percentual de conversão de um processo. Há duas variáveis de interesse: tempo de reação e temperatura de reação. Dada a incerteza sobre a linearidade da relação na região de experimentação, ela decide conduzir um experimento `\(2^2\)` aumentado com 5 pontos centrais. <img src="images/Exemplo_pontos_centrais.png" width="35%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 5 - II A média dos pontos na porção fatorial do experimento é `\(\bar{y}_{_F}\)`=40,425 e a média dos pontos centrais é `\(\bar{y}_{_C}=40,46\)`. A soma dos quadrados da curvatura é dada por <div class="math"> \[\begin{align*} SQ_{Curv}&=\dfrac{4\times 5(40,425-40,46)^2}{4+5}\\ &=\dfrac{4\times 5(-0,035)^2}{4+5}=0,0027. \end{align*}\] </div> O Quadrado Médio do Erro pode ser calculado usando os pontos centrais <div class="math"> \[\begin{align*} QME&=\frac{SQE}{n_{_C}-1}=\frac{\sum_{\text{pontos centrais}}(y_i-\bar{y_{_C}})^2}{n_C}\\ &=\frac{\sum_{1=1}^5(y_i-40,46)^2}{4}=\frac{0,1720}{4}=0,0430. \end{align*}\] </div> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Exemplo 5 - III ##ANOVA | Fonte | gl | SQ | QM | `\(F_0\)` | |:------------------|:--:|:-------:|:-------:|:-----:| | A (Tempo) | 1 | 2,4025 | 2,4025 | 55,87 | | B (Temperatura) | 1 | 0,4225 | 0,4225 | 9,38 | | Interação | 1 | 0,0025 | 0,0025 | 0,06 | | Curvatura | 1 | 0,0027 | 0,0027 | 0,06 | | Erro | 4 | 0,1720 | 0,0430 | | | Total | 8 | 3,0022 | | | --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Blocagem e confundimento <img src="images/Fatorial_blocos.png" width="65%" style="display: block; margin: auto;" /> --- [//]: <> (class: center, middle, animated, slideInRight/ class: animated slideInRight fadeOutLeft) class: animated, fadeIn #Experimento Fatorial `\(2^3\)` em dois blocos com ABC confundido <img src="images/Fatorial_blocos2.png" width="65%" style="display: block; margin: auto;" /> --- class: animated, hide-logo, bounceInDown ## Política de proteção aos direitos autorais > <span style="color:grey">O conteúdo disponível consiste em material protegido pela legislação brasileira, sendo certo que, por ser o detentor dos direitos sobre o conteúdo disponível na plataforma, o **LECON** e o **NEAEST** detém direito exclusivo de usar, fruir e dispor de sua obra, conforme Artigo 5<sup>o</sup>, inciso XXVII, da Constituição Federal e os Artigos 7<sup>o</sup> e 28<sup>o</sup>, da Lei 9.610/98. A divulgação e/ou veiculação do conteúdo em sites diferentes à plataforma e sem a devida autorização do **LECON** e o **NEAEST**, pode configurar violação de direito autoral, nos termos da Lei 9.610/98, inclusive podendo caracterizar conduta criminosa, conforme Artigo 184<sup>o</sup>, §1<sup>o</sup> a 3<sup>o</sup>, do Código Penal. É considerada como contrafação a reprodução não autorizada, integral ou parcial, de todo e qualquer conteúdo disponível na plataforma.</span> .pull-left[ <img src="images/logo_lecon.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" /> ] .pull-right[ <img src="images/logo_neaest.png" width="50%" style="display: block; margin: auto;" /> ] <br></br> .center[ [https://lecon.ufes.br](https://lecon.ufes.br/)         [https://analytics.ufes.br](https://analytics.ufes.br) ] <font size="2"><span style="color:grey">Material elaborado pela equipe LECON/NEAEST: Alessandro J. Q. Sarnaglia, Bartolomeu Zamprogno, Fabio A. Fajardo, Luciana G. de Godoi e Nátaly A. Jiménez.</span></font>